文献追踪到这个15年前的文献，被引超过1500多次。旨在解决大位移图像的匹配，将大位移用积分分解的思路惊艳到我了，同时数学公式看到了头大。所以写下，做个记录。
- Beg, M. Faisal, et al. "Computing large deformation metric mappings via geodesic flows of diffeomorphisms." International journal of computer vision 61.2 (2005): 139-157.
问题描述：
图像是个函数。
图像变换，。对函数的操作。记做
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微分同胚，diffeomorphic. 这个是个连续变换的概念。[参考逐渐僵化的笑脸]
The large deformation model for computing transformations developed by Christensen overcomes the limitations of the small deformations model by ensuring that the transformations computed between imagery are diffeomorphic.
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目标是找到一个变换让图像距离最小
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策略是将大变换换成小变换的组合。也就是说，最终的变换是逐渐产生的。
生成一系列中间变换
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最终的数学模型是这样子的，看来也不是很复杂哈。
问题建模
问题求解。
这下就有点难度了。大致感觉就是用Euler-Lagrange equation走一遍，可是我看不懂。结论是：采用standard gradient descent的算法就完事了。这个欧拉方程推导回头再看看。
通过
求解
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问题
这不就是流体力学中的transport equation吗？两种坐标系，两种解法，拉格朗日法和欧拉法
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用拉氏方法，become computations on an unstructured mesh.
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欧拉方法， in the Eulerian frame of reference.
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时间步长的问题
The issue here is the choice of the size of the timestep.
- 混合方法 Semi-Lagrangian schemes.
- 在实际代码中，感觉还是用的简单的拉格朗日方法，cry!
Integrates a vector field via scaling and squaring.
Ref, A Git Repo
总结，除了细节还有点迷糊，大体的方法和手段都基本上可以说是了解了。
扩展
在理解了这个文章的思路后，我发现在PIV测量中还没有这么干的。而PIV中最关注的恰恰是速度量，所以拿过来到PIV中用下，写了个文章Diffeomorphic Particle Image Velocimetry，感兴趣的读者可以去看看效果。
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