三、图像直方图变换和几何变换

• 直方图变换
• 灰度变换
• 点运算
• 几何变换

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直方图变换

1.灰度直方图

灰度直方图：数字图像中每一灰度级像素出现的频次（该灰度级的像素数目）（也可以标准化到概率的表示）

灰度直方图性质

• 无空间信息。（一种值的统计，丢弃位置信息）
• 直方图与图像一对多的关系
• 可叠加性（全图=子图叠加）

直方图反映图像的清晰程度，直方图均匀分布时，图像最清晰。

判定一幅图像是否清晰，查看是否合理的利用了全部允许的灰度级。

一幅图像应该尽可能利用全部的灰度级

2.直方图均衡化

直方图修正：通过灰度映射函数$G_{new} = T(G_{old})$,将原灰度直方图改造成所希望的直方图。

直方图均衡化是一种最常用的直方图修正，把直方图分布改造成均匀直方图分布，均衡化后，图像直方图是平直的，即各灰度级出现频数相同，图像看起来更清晰了。

直方图均衡化灰度映射函数

• 连续灰度级情况：概率密度函数为P(r)，0<= r <= 1，代表灰度级。

  变换函数s=T(r)，使直方图变平直。

  要求：

  • [0,1]范围内，T(r)是单增函数，且T的值域为[0,1]
  • 反变换函数为单减函数，值域也为[0,1]。
  变换示意图：图1 图片.png

变换函数T：图2 图片.png

• 数字图像的直方图均衡化：设总像素n个，分L个灰度级，第k个灰度级出现的概率P(Rk)=Nk/N，Nk表示第k个灰度级出现的频数。

  变换函数：连续变换函数离散化，概率求和。公式如下，图3 图片.png

数字图像灰度直方图均衡化步骤（8个灰度级为例），如图4： 图片.png

Matlab处理

• i2 = histeq(i1)，对i1直方图均衡化
• imhist(i2) ，绘制i2的直方图
• i2 = adapthisteq(i1)，改进的直方图均衡化效果，针对空间信息做了改进。

具体情况：若原图各个灰度等级都存在，但分布不均，均衡化后虽然分布很平直，但是可能变换后的灰度等级缩小了，变换到了一个更小的灰度等级空间，此时可能效果并不好，所有具体情况要具体处理。如下图5 图片.png

3.直方图规定化（直方图匹配）

修改一幅图像的直方图，使得它与另一幅图像的直方图匹配或具有一种预先规定的函数情况。

目标：突出感兴趣的灰度范围，改善图像质量。

场景：上一小节，我们将灰度分布不均的图像通过均衡化转换为灰度理论均匀（分布概率密度曲线平直）的图像，增强了图像效果，但是实际场景，我们可能要突出某一些部分，又或是我们发现灰度在靠近0和1的部分太暗或太亮会导致细节模糊甚至丢失，自然的我们想到类似于均衡变换，将不均的概率分布曲线转换成我们特定的预设的一种灰度分布上（如高斯分布），以实现我们需要的增强效果。

方法：1）直接通过f到g的映射，f为原函数，g为变换后的函数，但过程可能很复杂。2）通过均衡变换为中介，将原图灰度分布f1和预设的直方图分布f2都做一个变换到均衡分布，分布使用映射函数s和t，那么对原图做s变换，再做t的反变换就得到了f2的分布。过程简单。

步骤如图6所示：

图片.png

预设分布：规定化的效果较好，但是前提是需要知道图像的变换的较好的预设分布，这里需要根据具体情况分析，比如根据图中的场景，能分析该图主要应该呈现两种色调，那么对预设的分布，我们可以给出一种“双峰”的灰度分布，那么处理后的图像就会趋于呈现两种色调。

特例：二值图，双峰分布图中间添加阈值。

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灰度变换

场景：曝光不足或过度等原因，产生对比度不足，使图像细节分辨不清。

方法：使用灰度变换方法解决这些问题。

对比度：简单讲就是最白与最黑的亮度单位的相除值，体现的是灰度级的max和min的极差。

灰度级变换：空间域点运算，通过某个变换函数有：g(x,y)=T(f(x,y))，T即为变换函数。也可以写作R = T(r)

1.线性灰度变换

变换函数T为线性函数。

• 加常数：会缩小动态范围，降低对比度，调节整体亮度，可能会损失某一部分灰度等级。如下图所示，图7 图片.png

（特例）图像反转：g(x,y)=255-f(x,y)，简单理解为"黑白颠倒".

• 乘常数：g(x,y)=Cf(x,y).改变动态范围。

• 分段线性变换：变换函数采用分段的线性函数，突出感兴趣的部分。

  （特例）削波，cliping。

  （特例）阈值化，thresholding。二值图。

  （特例）灰度窗口变换，将某一区间的灰度级和其他部分（背景）分开。

非线性灰度变换

• 对数变化，低灰度区扩展，高灰度区压缩
• 之所变化，高灰度区扩展，低灰度区抑制。
• 幂函数。
• LUT变换，Look Up Table，查找表。一种映射表。

Matlab处理

• bc = imcomplement(b)，图像反转
• th = imadjust(t,[],[],0.5)，用于进行图像的灰度变换

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图像运算

1.算术运算：加减乘除

• 加法：C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)。去除“叠加性”噪音；生成图像叠加效果。
• 减法：与加法类似。
• 乘法：C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)。局部显示；二值蒙版图像与原图像做乘法。
• 除法：不常用

2.逻辑运算：与或非

3.比较运算：如，取平均，最大，最小

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图像几何变换

几何失真分为系统失真和非系统失真，系统失真是有规律的、能预测的，非系统失真则是随机的。

• 镜头畸变
• 遥感图像矫正：飞行器和地球相对运动造成呈现扫描不规整。
• 图像配准：工业生产、医院中装置定位。

几何变换是图像中物体的空间变换，可以看成是图像内各物体在图像内移动的过程，如转动、扭曲、倾斜、拉伸。

1.基本几何变换的定义

原图为f(x,y)，变换为，x'=T1(x,y)，y'=T2(x,y)，几何变换仅对x，y坐标做变换，灰度值不变。(注意：这里的变换不简单为单个变量的变换，如x'的变换实际上同时涉及变量x和y)

目标图像为g(x,y)=f(T1(x,y),T2(x,y))

2.常用的几何变换

• 平移变换。g(x,y)=f(x+tx,y+ty)，原图平移向量为(tx,ty)。（这里需要注意计算机呈像中的坐标选取，是左上角为坐标原点的，理论研究中采用常用的数学坐标）。写做矩阵形式为，图8 图片.png

• 镜像：水平镜像和垂直镜像

  • 水平镜像：沿Y轴翻转。g(x,y)=f(width-x,y)，矩阵形式为图9 图片.png
  • 垂直镜像：沿x轴翻转。g(x,y)=f(x,heigh-y)，矩阵形式为图10 图片.png

• 转置：x,y坐标对换。与旋转是不同的，事实上，转置后的图与旋转90度后的图是水平镜像关系。矩阵表示如图11 图片.png

• 旋转变换：绕原点旋转a度，（注：逆时针为正向角度）。旋转后画布变大，图像增大。数学关系用极坐标表示较为方便。如图12 图片.png

  通常的做法，是以图像中心做旋转，方法：

  • 图像中心平移到原点
  • 顺时针以原点做旋转
  • 图像中心平移回原坐标

  以上三个变换可以写成三种变换的矩阵相乘的形式，就可以一步到位。

  问题：旋转中会出现锯齿、网纹、断裂。

  • 像素的方向是固定的，纵横。旋转的时候并不会按某一个旋转角度分布像素，这样旋转后像素点就会有交错，不规整，错位。像素排列不完全按照原有的相邻关系。
  • 计算过程中，xy的映射涉及到三角函数，会进行浮点数取整，最终造成某些点空洞（没有取值），漏点。

  问题的本质都是应为像素值填充不是连续的。

  解决办法：插值填充。

• 缩放变换：缩小的时候要满足采样定理，否则会发生信息丢失；放大的时候需要对空位填入适当的新值，是信息的估计。矩阵表示如下图13. 图片.png
• 拉伸变换：混合的几何变换，或者说是几何变换的一般形式。如下图14 图片.png

3.灰度级差值

解决的问题：旋转中出现的漏点、放大中新增的空点、拉伸中的空点，都存在未知像素值的点。

解决方法：插值法，利用邻域的像素来估计新的像素值。

a）最邻近插值：重复最临近点，取最近点的像素值。简单，但效果一般，放大倍数太大时会出现马赛克现象。

b）双线性插值：根据该空点上下左右4个点进行两次插值。f(x,y)=ax+by+cxy+d。（xy两个方向上都取线性变换值）

c）三次立方插值（立方卷积插值）：差值函数为S(x)（是一个拟合的正弦差值函数，sinx/x，这是信息论中已知的优秀的差值算法，认为图像中的任何两个连续点的灰度值不是线性变换，而是一种sinx/x的函数，故采用拟合该函数的一个立方差值函数来代替计算），如下图15

图片.png
待求像素的灰度值由周围16个点的灰度值加权内插得到，计算量大，效果较好。矩阵表示为图16 图片.png

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实践任务

Matlab和Python分别实现下列任务

• 加载图像
• 预备任务：彩色图像到灰度图像的变换（因为之后的学习大多处理灰度图，所有需要将彩色图变换到灰度图）
• 实践1：灰度图及其灰度直方图，和均衡化后的图及其直方图，4个subplot做对比呈现
• 实践2：灰度图按高斯分布和双峰分布做直方图匹配，给出4个subplot对比呈现
• 实践3：图像旋转，及插值处理。
• 实践4：图像高倍放大，及插值算法处理比较。