测度与测度空间

淡水鱼写于2020/2024

集函数：顾名思义，集合的函数，定义域是由集合构成的集合，值域是R。
集函数是有限的：如果对每个A∈集类，|u(A)|<∞，则称u是有限的。
集函数是σ有限的：σ的意思是可列。如果每个A∈集类，存在集合序列{A_{n}}，使A=∪A_{n}，且对每个n，都有u(A_{n})<∞，则称u是σ有限的。
u是有限可加的：如果对任意A、B∈集类，A与B的交集为空集，都有u(A+B)=u(A)+u(B)。通俗理解，测量两个桌子的长度，将两张桌子并排一起量与分开测量两张桌子，然后将测量结果相加，这两种测量方式得到的结果是一样的。不能说，两张桌子一起量，与单独测量每张桌子长度，然后相加得到的长度是不一样的。也就是说，单独测量求和=整体测量。
u是σ可列可加的：对集类中的任意集合序列{A_{n}}，并且两两互不相交，并且ΣA_{i}也属于这个集类，则u(ΣA_{i})=Σu(A_{i})。

测度：如果集类上的集函数u满足以下条件，则称u为测度。
（1）u(空集)=0
（2）u是非负的，即对集类中的每个A，都有u(A)大于等于0
（3）u是可列可加的。
概率测度：如果测度满足u(全集)=1，则称测度u为概率测度。
概率空间：全集，全集上的σ域，这个全集σ域上的测度，则这三个元素构成测度空间。当P是概率测度时，全集，全集上的σ域，P构成概率空间。

半域和域上的测度：即定义在半域或者域上的测度，换句话说，这个测度的定义域是半域或者域。

命题：若u是域上的非负、有限可加集函数，则有以下性质：
（1）集函数u是单调的，即A是B的子集，（相当于A小，B大），则u(A)小于等于u(B)。
（2）u是半可加的：若A是∪A_{i}的子集，必有u(A)小于等于Σu(A_{i})。