岭回归和LASSO
排除多重共线性和变量选择，是回归中重要的两个问题，排除共线性归根到底是变量选择的问题。筛选出重要的变量，是一个数据挖掘问题。

回归问题的数学解释：

得到β的前提是矩阵X‘X可逆（此时为无偏估计），但在实际应用中，可能会导致自变量个数多于样本量(p>n即列数比行数多)或者自变量间存在多重共线性（例如第三列是第二列的两倍）时，计算出来的 |X’X| =0，不可逆，导致偏回归系数无解，此时需要引入扩展的回归模型：岭回归和LASSO。

一、岭回归

通过在线性回归模型的目标函数上添加一个l2的正则项，即惩罚项为回归系数β的平方和，求解目标函数的最小值可得：

虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。而实际上可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。岭回归分析就是依据这个原理，通过在正规方程中引入有偏常数而求得回归估计量的。

随着λ的增大，模型方差减少，回归系数被压缩，偏差(残差平方和)增大。通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际。

岭迹图此时为喇叭形，存在多重共线性

二、岭回归应用

以糖尿病数据为例，自变量为患者的信息，因变量为糖尿病指数，越小说明治疗效果最好。

关键点是找一个合理的λ，来衡量模型的偏差和方差，进而得到更加符合实际的领回归系数。

# 导入第三方模块
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import model_selection
from sklearn.linear_model import Ridge,RidgeCV
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取糖尿病数据集
diabetes = pd.read_excel(r'F:\diabetes.xlsx', sep = '')
diabetes.head()

因为性别和年龄对于治疗效果无显著影响，去除

# 构造自变量（剔除患者性别、年龄和因变量）
predictors = diabetes.columns[2:-1]
predictors

依次为体质指数，平均血压，以及6个血清测量值

拆分数据

# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = model_selection.train_test_split(diabetes[predictors], diabetes['Y'], 
                                                                    test_size = 0.2, random_state = 1234 )

CASE1:通过可视化方法确定λ，当回归系数随着λ的增加趋于稳定

# 构造不同的Lambda值
Lambdas = np.logspace(-5, 2, 200)
Lambdas

。。。

上面的logspace函数：

np.logspace(0,3,10)
生成10^0—-103为断点元素个数为10的等比数列

# 构造空列表，用于存储模型的偏回归系数
ridge_cofficients = []
# 循环迭代不同的Lambda值
for Lambda in Lambdas:
    ridge = Ridge(alpha = Lambda, normalize=True)
    ridge.fit(X_train, y_train)
    ridge_cofficients.append(ridge.coef_)

# 绘制Lambda与回归系数的关系
# 中文乱码和坐标轴负号的处理
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
plt.plot(Lambdas, ridge_cofficients)
# 对x轴作对数变换
plt.xscale('log')
# 设置折线图x轴和y轴标签
plt.xlabel('Lambda')
plt.ylabel('Cofficients')
# 图形显示
plt.show()

normalize=True即建模时是否需要对数据集进行标准化处理

对于比较突出的喇叭形折线，代表该变量存在多重共线性。
λ增大，各回归系数迅速缩减至0，当λ=0.01时，回归系数趋于稳定。

CASE2:通过交叉验证法确定λ，当回归系数随着λ的增加趋于稳定

# 岭回归模型的交叉验证
# 设置交叉验证的参数，对于每一个Lambda值，都执行10重交叉验证
ridge_cv = RidgeCV(alphas = Lambdas, normalize=True, scoring='neg_mean_squared_error', cv = 10)
# 模型拟合
ridge_cv.fit(X_train, y_train)
# 返回最佳的lambda值
ridge_best_Lambda = ridge_cv.alpha_
ridge_best_Lambda

为0.0135，对应最小的平均均方误差 。

预测
预测之后对比差异，评估模型的拟合能力

# 基于最佳的Lambda值建模
ridge = Ridge(alpha = ridge_best_Lambda, normalize=True)
ridge.fit(X_train, y_train)
# 返回岭回归系数
pd.Series(index = ['Intercept'] + X_train.columns.tolist(),data = [ridge.intercept_] + ridge.coef_.tolist())

对岭回归系数的解释同多元线性回归一样

对测试集的数据进行预测

# 导入第三方包中的函数
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 预测
ridge_predict = ridge.predict(X_test)
# 预测效果验证
RMSE = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,ridge_predict))
RMSE

值越小，模型对数据的拟合效果越好。

三、LASSO回归

岭回归存在的问题：
计算方法太多，差异太大；
根据岭迹图进行变量筛选，随意性太大；
岭回归返回的模型（如果没有经过变量筛选）会包含所有的变量，无法降低模型的复杂度

通过在线性回归模型的目标函数上添加一个l1的正则项，即惩罚项为回归系数β的绝对值之和，求解目标函数的最小值可得，在缩减过程中，可以将一些不重要的回归系数直接缩减至0

与岭回归一样，是有偏估计

因为惩罚项是绝对值之和，在零点处不可导，无法使用岭回归上的最小二乘法求解拟合系数，梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法也无法使用，这里使用坐标轴下降法，是沿着坐标轴的方向去下降，这和梯度下降不同。梯度下降是沿着梯度的负方向下降。不过梯度下降和坐标轴下降的共性就都是迭代法，通过启发式的方式一步步迭代求解函数的最小值。

坐标轴下降法的数学依据主要是这个结论：一个可微的凸函数J(θ), 其中θ是nx1的向量，即有n个维度。如果在某一点θ~，使得J(θ)在每一个坐标轴θ¯i(i = 1,2,...n)上都是最小值，那么J(θ~)就是一个全局的最小值。即每个分量最优则全局最优。

左边为l1的示意图，方框顶点更容易与抛物面相交，会导致β为0，进而实现变量的删除，起到变量筛选的效果。

四、LASSO回归应用

CASE1:通过可视化方法确定λ，当回归系数随着λ的增加趋于稳定

# 导入第三方模块中的函数
from sklearn.linear_model import Lasso,LassoCV
# 构造空列表，用于存储模型的偏回归系数
lasso_cofficients = []
for Lambda in Lambdas:
    lasso = Lasso(alpha = Lambda, normalize=True, max_iter=10000)
    lasso.fit(X_train, y_train)
    lasso_cofficients.append(lasso.coef_)

# 绘制Lambda与回归系数的关系
plt.plot(Lambdas, lasso_cofficients)
# 对x轴作对数变换
plt.xscale('log')
# 设置折线图x轴和y轴标签
plt.xlabel('Lambda')
plt.ylabel('Cofficients')
# 显示图形
plt.show()

max_iter=10000为最大迭代次数

λ在0.05附近，趋于稳定

CASE2:通过交叉验证法确定λ，当回归系数随着λ的增加趋于稳定

# LASSO回归模型的交叉验证
lasso_cv = LassoCV(alphas = Lambdas, normalize=True, cv = 10, max_iter=10000)
lasso_cv.fit(X_train, y_train)
# 输出最佳的lambda值
lasso_best_alpha = lasso_cv.alpha_
lasso_best_alpha

λ=0.0629

预测

# 基于最佳的lambda值建模
lasso = Lasso(alpha = lasso_best_alpha, normalize=True, max_iter=10000)
lasso.fit(X_train, y_train)
# 返回LASSO回归的系数
pd.Series(index = ['Intercept'] + X_train.columns.tolist(),data = [lasso.intercept_] + lasso.coef_.tolist())

系数中S2和S4系数为0，说明对Y没有显著意义

# 预测
lasso_predict = lasso.predict(X_test)
# 预测效果验证
RMSE = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,lasso_predict))
RMSE

RMSE相比于岭回归，下降了0.8，即在降低模型复杂度的情况下（删除了S2和S4），进一步提高了模型的拟合效果

五、多元线性回归应用

为了进一步说明LASSO回归的拟合效果，运用多元线性回归模型

# 导入第三方模块
from statsmodels import api as sms
# 为自变量X添加常数列1，用于拟合截距项
X_train2 = sms.add_constant(X_train)
X_test2 = sms.add_constant(X_test)

# 构建多元线性回归模型
linear = sms.formula.OLS(y_train, X_train2).fit()
# 返回线性回归模型的系数
linear.params

# 模型的预测
linear_predict = linear.predict(X_test2)
# 预测效果验证
RMSE = np.sqrt(mean_squared_error(y_test,linear_predict))
RMSE

多元线性回归的拟合效果最差

批注：弹性网

ElasticNet 是一种使用L1和L2先验作为正则化矩阵的线性回归模型.这种组合用于只有很少的权重非零的稀疏模型，比如:class:Lasso, 但是又能保持:class:Ridge 的正则化属性.我们可以使用 l1_ratio 参数来调节L1和L2的凸组合(一类特殊的线性组合)。