到了初中，我们在数学上学习的数更加广泛，比如有理数。既然要研究有理数首先要学习它的四则运算。
如果想研究有理数的四则运算，首先我们要将有理数分一个类，也就是正有理数，负有理数，和0。正有理数又包括了正整数和正分数，而负有理数又有负整数和负分数。接下来我就可以开始探索它们的四则运算。
首先我们来看一下有理数的加法。我们可以在探索之前将有理数的加法分成几类，如图：
可以分为这六类，正数乘正数我们以前已经学过，比如3+2，我们可以用数轴来解释，从零开始向右跳三个单位长度，跳到的位置是3，再从三开始向右跳两个单位长度，跳到的位置就是5，所以3+2也就等于5。那么问题来了，如果是负数加正数，该怎么办呢？我们以前是没有学过这一类加法的。但我想我们还可以哉数轴上来跳。比如-3+2，我们可以先找到负三的位置，就是从零开始向左跳三个单位长度，跳到负三，再向右跳两个单位长度，跳到的位置也就是负一。那么正数加负数又该怎么跳呢？如2+（-3）我们以前加的数都是一个正数，但这次加了一个负数，这该怎么跳？我们可以先找到二的位置，然后向左跳三个单位长度，跳到的位置是-1。但是为什么要向左跳，并且越加越小呢？我们以前学过的加法不都是往右跳，越加越大吗？但是我们可以利用反射变化来想一下，原来我们加的都是一个正数，加一个正数自然会越加越大，并且往右跳，但是现在加了一个负数，他就要再反一次了，也就是变成向左跳，而向左跳自然就会越跳越小。那么现在我们也可以得到一些规律，首先就是加一个正数，向右跳，越加越大，加一个负数，就是向左跳，并且越加越小。并且还有一个神奇的规律就是一个数加上一个负数，其实也就等于减去这个负数的相反数，这个也可以用我们刚才的反射变化完美的在数轴上解释。所以以后我们在计算负数加法的时候就不需要在数轴上一格一格的跳，可以直接应用这个规律。而负数加负数，其实也和正数加负数一样，加上一个负数，其实就等于减去它的相反数。0加负数和0加正数可以很轻易的得到了，0+任何数，其实就等于那个数的本身。现在我们就已经将所有有理数的加法分类解决了。今天我们可以总结一下规律就是加上一个负数等于减去他的相反数，同号两数相加，取相同的符号，将两数的绝对值相加。那么现在我们可以看一下什么情况下两数相加的时候结果会大于0，什么时候小于0，什么时候又等于0？如果两数都是正数，大于零数的话，他们的结果肯定是大于0，如果是负数加负数的话，他们结果可能大于0，可能小于0，如果后面的加数大于前面的加数结果就大于0，反之则小于0。正数加负数，如果正数的绝对值小于负数的绝对值，那么它们的结果也就小于零，如果正数的绝对值大于负数的绝对值，那么结果就大于0，但如果正数和负数绝对值相等的时候，结果就会等于0。
那么有理数的减法又该怎样运算呢？我们可以先将有理数的减法分成几类，如图：
我们可以把有理数减法分成这样的六类，正数减正数我们在小学的时候已经学过了，比如3-2，我们可以用数轴来解释。从零开始向右跳三个单位长度跳到三，然后再向左跳两个单位长度跳到的位置就是一。那么负数减正数的时候该怎么算呢，我们也可以用数轴来解释，比如负三减二，从零开始向左跳三个一跳到的位置是负三，再向左跳两个单位长度跳的位置，也就是负五。正数减负数，比如2减-3，我们可以从二开始，向右跳三个单位长度跳的位置，也就是五。但是这和我们以前所学过的也不一样，因为以前我们学过的减法是越减越小，并且是向左跳的，但是现在为什么是向右跳呢？我们也可以利用反射变化来解释，原来减的是一个正数，向左跳，现在减的是一个负数，就是向右跳。我们也可以总结一下，减去一个负数其实就等于加上他的相反数。负数减负数也是一样的可以利用反射变化解释。零减负数也就等于零加上他的相反数，零减一个正数自然也是这个正数的相反数。但是我想另外一种更简洁也更好，理解的方式可以解释有理数的减法，就是把有理数的减法转化成加法。3-2=3+（-2），-3-2=-3+（-2）。2-（-3）=2+3，-3-（-4）=3+4。0-（-3）=0+3，0-3=0+（-3）我们可以把所有有理数的减法都转换成加法，这样就非常得好理解并且也很方便运算了。
那么有理数的乘法该怎样运算，我们同样可以把它分成几类，如图：
正数乘正数我们以前就学过。可以利用几个几，几的几倍或者来得到。比如说，3×2就是三的二倍或二的三倍，或者三个二相加或二个三相加。或者我也可以利用跳数轴的方式来解决。 如果是负数乘正数，比如-3×2其实就是两个负三相加，也就是负六。正数乘负数也是一样的，比如二乘负三，其实也就是两个负三相加。那么负数乘负数就没有办法利用几个几，或者几的几倍来解决了，但是我们可以利用反射变化，比如-3×（-4）我们可以先把它转化成-3×4，也就是-12，但是这个-4也是负数，所以我再把它反射一次就变成了12，这其实也就是我们所说的负负得正，我们也利用反射变化完美的解释了他。当然0乘负数就是0，0乘正数也一样，因为0乘任何数都等于0。所以我们就可以总结一下负数乘法的规律，如果有偶数个负数相乘符号就可以相互抵消，再把这两个数的绝对值相乘。最后，0×任何数都等于零。
但是在有理数的乘法中还有特殊的一类，就是乘方。比如二的三次方其实就是三个二相乘， a的n次方就是n个a相乘，如图：
这里的a就是底数，n是指数，而这个整体就称作一个幂。他其实也就是一个连乘的形式。并且我发现乘方中同样也有规律：负数偶次幂为正数，奇次幂为负数，因为比如（-2）的三次，-2就是-1乘2，三个-1相乘还是-1，所以结果肯定是负数，但是如果是偶次幂，偶数个-1相乘肯定就是1。正数的奇偶次幂肯定都是正数，0的正整数次幂为0
那么除法，我们又该怎么办呢？我们同样可以分一下类，如图：
正数除正数，我们以前是学过的，可以利用包含或者平均分来解决。比如10除5可以理解为把10平均分成五份每份是多少，或者十里面包含了几个五。我想我们也可以将所有的除法直接转化成乘法因为，以前我们学分数的时候总结出来了一个规律，就是除一个数就等于乘他的倒数，比如÷5我们就可以把它转化成五分之一。这样的话，我们遇到任意一个有理数除法的问题都可以把它转化成乘法，这样我们就可以直接轻松的解决，并且很好理解了。
接下来我们学习了整式的加减法，何为整式？肯定是一个式子，但是他又分为哪几类？我们可以先观察一下下图的式子有何特点，如图：
100t，0.8p，mn，3ab，-n
这些式子有何特点，我发现他们其实都是数或者字母的乘积，那么这一类式子如何命名？ 他其实就叫做单项式。单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数是单项式的次数 。如图：
100t 系数：100 次数：1
a³h 系数：1 次数：4
100t他的系数就是100，因为100是这个式子中的数字，指数是1，因为t的指数就是1。 a³h 的系数是多少？这里没有数字？但是他其实就是1乘 a³h ，所以它的系数就是1。而他的次数又是多少？就是所有的字母次数相加，分别是三和一，3+1=4，所以他的指数就是4。我们继续观察下列的式子，如图：
v+2.5，v-2.5，3x+2y+5z，ax³-ab
这些式子有何的特点？我发现他们都是单项式的加减，他们就叫多项式。几个单项式的和。每个单项式叫做单项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数为多项式的次数，如：
v-2.5 常数项：-2.5 次数：1 项数：2
x³+2x+y 常数项：2 次数：3 项数：3
v-2.5 的常数项是多少？其实就是-2.5，一定要记着他的符号也要带上。次数当然就是v的次数，1。而这个多项式一共就有两项，所以项数是2。x³+2x+y的常数项是2，他的次数就是选最高一项的次数，虽然是X的三次，所以次数就是3。而这个多项式一共有三项，所以项数是3。
单项式和多项式共同构成了整式，接下来我们就要研究一下整式的加减。我们可以举一个例子，比如100t+250t，它的结果应该是多少？我们可以用乘法分配律来计算，因为他们都有一个共同的t，把T提取出来就可以变成（100+250）t，也就是350t，这个过程我们用了乘法分配律。他们都含有同样的字母，且字母指数一样，这时，我们可以称他们为同类项，可以运用各种运算律进行同类项合并。把多项式的同类项合并为一项，叫做合并同类项，并且我发现合并同类项系数进行加减，字母，指数不变。但是有一些整式的加减还有括号，如4x-（x-2x），这时我们该怎么计算？肯定需要去括号，那么去括号有什么规律？我们可以直接去括号，变成4x-x-2x，但是这样对吗？我想是不对的，因为这样就会改变运算的顺序，原本是4x减去x-2x的差，但现在是4x减x和2x，那么我们该怎么去括号。X肯定是要被减去的，但是2X也是减去吗？不是的，因为2X前面的符号是负号，括号前面的符号也是负号，负负就变成了正，所以结果应该是4x-x+2x。那么括号前面是+，里面的符号还用变吗？我想就不需要了。所以现在我们可以总结出来一个去括号的规律：括号外边是正号，去括号后括号里各项符号不变 。括号外边是负号，去括号后括号里各项符号相反。现在我们在计算整式加减的时候，第一步就是去括号，接下来就合并同类项，最后计算就可以了，用这种方法我们可以解决任意的一个整式加减。我发现这一章其实和有理数的运算有很大关系，因为在我们合并同类项计算的时候其实就应用到了有理数的运算，如果不先学有理数的运算，我们就无法计算整式的加减。
下一章就是一元一次方程，一元一次方程其实就是只有一个未知数，且指数为1的方程。在一元一次方程中，我们首先就是要列方程，第一步就是找等量关系，接下来只需要用字母将它表示出来就可以了。列出方程后，当然都需要解方程，那么我们怎么解方程？如图：
在解方程的时候，其实是有方法的，比如移项，方程中任意一项想从一边换到另外一边他的符号就需要变化，我们也可以利用等式的基本性质解释，比如5想要变到右边，就需要-5，等式两边同时-5，左边5-5变为0，而右边就变成了-5，符号正好相反，移项的目的其实就是把有同类项的放到一边，字母和字母放到一边，数字和数字放到一边，接下来我们只需要合并同类项就可以得到结果。
当遇到有分数的方程，或者有括号的方程时，又要如何解决？首先我们可以解决一下分数，当这个方程式分数的时候，感觉很难计算，但是我们没有什么方法可以把它变成一个多项式加减的形式，这样我们就会计算了。这是我们可以去分母，想要把分母去掉那无非就是等式两边各自乘以分母的最小公倍数，这样就可以消掉分母，但只是要注意分子也要同时跟着分母而变，每一项都要乘这个数。现在我们把它变成了一个多项式加减的形式，下一步要怎么办？如果有括号就去括号，然后再移项，最后合并同类项就可以了。其实解方程一共就有几步，第一步区分母，第二步去括号，然后移项，合并同类项。用这些方法就可以解任意的一元一次方式。这一章其实和上一章的整数的加减也有关系，因为方程的运算，解方程的步骤就用到了整式加减的规律方法，不然我们无法解出方程。
看似学了三章完全不一样章节，带着他们彼此之间又有着巨大的的联系，没有上一章就无法到下一章，每一章都是下一章的基础，环环相扣，缺一不可。
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