奇点定理

爱因斯坦的广义相对论将引力和时空的弯曲联系起来，这一理论在被提出之后的一百多年的时间里经受住了无数的实验检测。在广义相对论建立的早期，由于人们对这一充满革命性的理论知之甚少，因此人们在探索这一个理论的过程中也曾遇到过许多“困惑”。广义相对论中的爱因斯坦引力场方程是一个高度耦合的非线性方程。对这种方程的求解是一个极为困难的事情。在早期人们只能够求解一些具有高度对称性的情况。

这其中最早的一个结果就是由德国的物理学家施瓦西（Schwarzschild）在广义相对论提出后一个月得到的真空球对称解——施瓦西解。

另外一个同样著名的成果则是由俄国的物理学家弗里德曼（Friedmann）在1922年得到的，它描述各向同性均匀宇宙演化的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规。虽然这两个解描述的物理非常的不同，但是人们发现它们有一个特别的相似之处：它们都表明时空中存在一个曲率无限的大的点——“时空奇点”。后来，钱德拉塞卡、朗道和奥本海默等对于大质量恒星演化的研究表明：球对称的大质量恒星在其核燃料燃烧耗尽之后将会不可避免地塌缩成为一个黑洞，从而导致时空奇点的形成。由于在广义相对论中时空的曲率具有可观测效应，物理学上这种具有可观测效应的无限大并不是物理学家所乐见的。因为在物理世界中并不存在什么真正的无限大。一个理论预言了“无限大”往往预示着这个理论的危机。

左图：一个球对称的恒星塌缩为一个时空奇点的示意图。

右图：一个点电荷周围的电场强度分布图

事实上广义相对论的奇点疑难几乎与广义相对论同时诞生。然而在广义相对论研究早期，包括爱因斯坦在内的许多物理学家并不认为在广义相对论的框架下奇点会出现在真实的世界中。首先，施瓦西解和恒星晚期的演化都假设了球对称性，但是真实的星体不可能具有那样精确的球对称性。其次，在弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规里，人们则假设了宇宙是均匀且各向同性的，但是真实的宇宙不可能具有理论模型中那样完美的均匀对称性。这使得一些物理学家认为真实的物理世界并不存在奇点。这一想法非常地自然。比如，在经典电磁学里一个点电荷的电场强度在中心处也是发散的，但是这并不导致经典电磁学的任何危机——因为现实世界里不存在一个真正的“点”电荷。那么在广义相对论里发现的那些“无穷大”也是因为模型过于简化所致吗？对于“球对称”的偏离可以有效地避免时空奇点的产生吗？对于这一个问题的回答分为两派：一派认为“发散”的出现是因为我们采用了过分理想、以至于现实中不存在的模型，其代表人物就包括苏联物理学家栗弗席兹（Lifshitz）和卡拉特尼科夫（Khalatnikov）等人；另外一派则认为在广义相对论框架下时空的奇点是不可避免的，其代表人物就是彭罗斯以及二年前去世的史蒂芬·霍金（Stephen Hawking）。

经过几年的研究，最终彭罗斯和霍金的观点胜出。这其中彭罗斯的数学背景起到了关键作用。1965 年彭罗斯给出了第一个奇异性定理（也称为奇点定理） 的证明【2】。这一工作是里程碑式的。它首次在不依赖对称性的情况下证明了：只要时空中的物质是由一些“正常”的物质构成，并且时空满足一些基本的性质，那么时空的奇点是普遍存在，是不可避免地。在证明奇异性定理的过程中，彭罗斯引入了现代广义相对论研究中的许多重要概念，比如时空的奇异性、俘获面、柯西面和时空的整体双曲性等数学概念；并进一步发展了在描述时空整体因果结构极为有用的“彭罗斯图”。这些数学概念与工具的发明极大地澄清了广义相对论中的许多内容，奠定了广义相对论中关于奇异性研究的基调，并在当代已经成为研究广义相对论的标准语言。彭罗斯的这一篇开创性工作一经问世就迅速地吸引了许多物理学家的注意，这其中最为突出的就是霍金。实际上1965年的文章只是彭罗斯一系列关于奇点定理的文章的开篇。在其后的系列研究工作中，彭罗斯和霍金合作对彭罗斯1965年的结果进行了推广，并应用到宇宙学中证明了大爆炸奇点的普遍存在性。至此彭罗斯和霍金等人彻底地回答了广义相对论中奇点的存在性问题：对球对称性的偏离并不能有效地克服奇点的产生，奇点的形成在广义相对论中几乎是不可避免的。