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数学随笔

数学随笔

作者: 罗泽坤 | 来源:发表于2018-11-29 22:22 被阅读0次

若\omega=f(z)在扩充平面上除去点z=z_0​外处处解析而且单叶的，则f(z)​必定是分式线性变换

证明：

z_0是f(z)的孤立奇点，由Picard定理他不可能是f(z)的本性奇点，由Liouvile定理z_0也不可能是可取奇点，因此z_0只能是f(z)的m级极点，由单叶性质，z_0只能是f(z)$的一级极点

所以将f(z)在z_0的小领域内Laurent展开后的主要部分为：

\phi(z)= \begin{cases} \dfrac{A}{z-z_0} ,z_0\neq\infty\\ \quad Az,z_0=\infty\end{cases}

其中A是常数.所以函数：\varphi(z)=f(z)-\phi(z)

在扩充复平面上是解析的，因此由Liouvile定理可得\varphi=B(常数)，即

f(z)=B+\dfrac{A}{z-z_0} \quad or\quad f(z)=Az+B

所以,f(z)是一个分式线性变换，定理证毕

注：

Picard定理：如果f(z)在点w具有本性奇点，那么在任何含有w的开集中，对任意非∞的复数值A，有无穷多个z使得f(z)=A

Liouvile定理：若函数f(z)在有穷平面C解析且有界则f(z)必定为一个常数

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