二分查找的总结
普通的二分查找
最普通的写法:
- 范围在
[L,R]闭区间中，L = 0、R = arr.length - 1； - 注意循环条件为
L <= R，而不是L < R；
image.png
static int bs1(int[] arr,int key){
int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找key
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] == key)
return mid;
if(arr[mid] > key)
R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
else
L = mid + 1;
}
return -1;
}
普通二分查找的另一种写法
首先说明，这个和上面的二分查找是完全一样的，只不过我们定义的区间不同而已:
-
上面的二分查找是在
[L,R]的闭区间中查找，而这个二分查找是在[L,R<font color =red>)</font>的左闭右开区间查找； -
所以<font color =red>此时的循环条件是
L < R，因为R本来是一个不可到达的地方，我们定义为了开区间，所以R是一个不会考虑的数，所以我们循环条件是L < R； -
同理，当
arr[mid] > key的时候，不是R = mid - 1，因为我们定义的是开区间，所以R = mid，因为不会考虑arr[mid]这个数；
//和上面的完全一样，只是一开始R不是arr.length-1 而是arr.length
static int bs2(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length; //注意这里R = arr.length 所以在[L,R)开区间中找
int mid;
while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] == key)
return mid;
if(arr[mid] > key)
R = mid; // 在[L,mid)中找
else
L = mid + 1;
}
return -1;
}
上面的两种方式一般还是第一种方式用的多一点。
第一个=key的，不存在返回-1
这个和之前的不同是:
-
数组中可能有重复的
key，我们要找的是第一个key的位置； -
和普通二分查找法不同的是在我们要
R = mid - 1前的判断条件不是arr[mid] > key，而是arr[mid] >= key； -
为什么是上面那样，其实直观上理解，我们要找的是第一个，那我们去左边找的时候不仅仅
arr[mid] > key就去左边找，等于我也要去找，因为我要最左边的等于的； -
最后我们要判断
L是否越界(L有可能等于arr.length)，而且最后arr[L]是否等于要找的key； -
如果
arr[L]不等于key，说明没有这个元素，返回-1；
举个例子:
image.png
/**查找第一个与key相等的元素的下标， 如果不存在返回-1 */
static int firstEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key的
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] >= key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
if(L < arr.length && arr[L] == key)
return L;
return -1;
}
第一个>=key的
这个和上面那个寻找第一个等于key的唯一的区别就是:
-
最后我们不需要判断(
L < arr.length && arr[L] == key)，因为如果不存在key的话，我们返回第一个> key的元素即可； -
注意这里没有判断越界(
L < arr.length)，因为如果整个数组都比key要小，就会返回arr.length的大小；
/**查找第一个大于等于key的元素的下标*/
static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] >= key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
return L;
}
第一个>key的
这个和上两个的不同在于:
-
<font color = red>
if(arr[mid] >= key)改成了if(arr[mid] > key)</font>，因为我们不是要寻找= key的； -
看似和普通二分法很像，但是我们在循环中没有判断
if(arr[mid] == key)就返回mid(因为要寻找的不是等于key的)，而是在最后返回了L；
举个例子:
image.png
/**查找第一个大于key的元素的下标 */
static int firstLarge(int[] arr,int key){
int L = 0,R = arr.length - 1;
int mid;
while(L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] > key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
return L;
}
<font color =red>第一个...的总结
上面写了三个第一个.....的程序，可以发现一些共同点 ，也可以总结一下它们微妙的区别:
-
最后返回的都是
L； -
如果是寻找第一个等于
key的，是if( arr[mid] >= key) R = mid - 1，且最后要判断L的合法以及是否存在key； -
如果是寻找第一个大于等于
key的，也是if(arr[mid] >= key) R = mid - 1，但是最后直接返回L； -
如果是寻找第一个大于
key的，则判断条件是if(arr[mid] > key) R = mid - 1，最后返回L；
最后一个=key的，不存在返回-1
和寻找第一个 = key的很类似，不过是方向的不同而已:
-
数组中有可能有重复的
key，我们要查找的是最后一个= key的位置，不存在返回-1； -
为了更加的直观的理解，和寻找第一个...的形成对比，这里是当
arr[mid] <= key的时候，我们要去右边查找(L = mid + 1)，同样是直观的理解，因为我们是要去找到最后一个= key的，所以不仅仅是arr[mid] < key要去左边寻找，等于key的时候也要去左边寻找； -
<font color = red>和第一个....不同的是，我们返回的都是
R； -
同时我们也要判断
R的下标的合法性，以及最后的arr[R]是否等于key，如果不等于就返回-1；
举个例子:
image.png
/**查找最后一个与key相等的元素的下标， 如果没有返回-1*/
static int lastEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] <= key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
if(R >= 0 && arr[R] == key)
return R;
return -1;
}
最后一个<=key的
这个和上面那个寻找最后一个等于key的唯一的区别就是:
-
最后我们不需要判断 (
R >= 0 && arr[R] == key)，因为如果不存在key的话，我们返回最后一个< key的元素即可； -
注意这里没有判断越界(
R >= 0)，因为如果整个数组都比key要大，数组最左边的更左边一个(也就是-1)；
/**查找最后一个小于等于key的元素的下标 */
static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] <= key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
return R;
}
最后一个<key 的
这个和上面两个不同的是:
-
<font color = red>和上面的程序唯一不同的就是
arr[mid] <= key改成了arr[mid] < key，因为我们要寻找的不是= key的；</font> -
注意这三个最后一个的都是先对
L的操作L = mid + 1，然后在else中进行对R的操作；
[图片上传失败...(image-c6ae4-1571461689829)]
/**查找最后一个小于key的元素的下标*/
static int lastSmall(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while(L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] < key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
return R;
}
<font color =red>最后一个...的总结
上面三个都是求最后一个.....的，也进行一下总结:
-
最后返回的都是
R； -
第一个
if判断条件(不管是arr[mid] <= key还是arr[mid] < key) ，都是L的操作，也就是去右边寻找； -
如果是寻找最后一个 等于
key的，if(arr[mid] <= key) L = mid + 1;不过最后要判断R的合法性以及是否存在key； -
如果是寻找最后一个 小于等于
key的，也是if(arr[mid] <= key) L = mid + 1；不过最后直接返回R； -
如果是寻找最后一个 小于
key的，则判断条件是if(arr[mid] < key) L = mid + 1，最后返回R；
完整测试代码
public class BinarySearch {
//最普通的二分搜索法
static int bs1(int[] arr,int key){
int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找key
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] == key)
return mid;
if(arr[mid] > key)
R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
else
L = mid + 1;
}
return -1;
}
//和上面的完全一样，只是一开始R不是arr.length-1 而是arr.length
static int bs2(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length; //注意这里R = arr.length 所以在[L,R)开区间中找
int mid;
while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] == key)
return mid;
if(arr[mid] > key)
R = mid; // 在[L,mid)中找
else
L = mid + 1;
}
return -1;
}
/**查找第一个与key相等的元素的下标， 如果不存在返回-1 */
static int firstEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key的
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] >= key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
if(L < arr.length && arr[L] == key)
return L;
return -1;
}
/**查找第一个大于等于key的元素的下标*/
static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] >= key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
return L;
}
/**查找第一个大于key的元素的下标 */
static int firstLarge(int[] arr,int key){
int L = 0,R = arr.length - 1;
int mid;
while(L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] > key)
R = mid - 1;
else
L = mid + 1;
}
return L;
}
/**查找最后一个与key相等的元素的下标， 如果没有返回-1*/
static int lastEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L)/2;
if(arr[mid] <= key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
if(R >= 0 && arr[R] == key)
return R;
return -1;
}
/**查找最后一个小于等于key的元素的下标 */
static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while( L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] <= key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
return R;
}
/**查找最后一个小于key的元素的下标*/
static int lastSmall(int[] arr,int key){
int L = 0, R = arr.length - 1;
int mid;
while(L <= R){
mid = L + (R - L) / 2;
if(arr[mid] < key)
L = mid + 1;
else
R = mid - 1;
}
return R;
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,3,4,6,6,6,6,6,6,8,9};
System.out.println("----------general-----------");
System.out.println(bs1(arr,3));//1
System.out.println(bs2(arr,3));//1
System.out.println(bs2(arr,6));//5
System.out.println("-----------first------------");
//第一个 = 的
System.out.println(firstEqual(arr,6));//3
//第一个 >= 的
System.out.println(firstLargeEqual(arr,5));//3
System.out.println(firstLargeEqual(arr,6));//3
//第一个 > 的
System.out.println(firstLarge(arr,6));//9
System.out.println("------------last------------");
//最后一个 = 的
System.out.println(lastEqual(arr,6));//8
// 最后一个 <= 的
System.out.println(lastSmallEqual(arr,7));//8
System.out.println(lastSmallEqual(arr,6));//8
//最后一个 < 的
System.out.println(lastSmall(arr,6));//2
}
}
效果:
[图片上传失败...(image-3b5bd9-1571461689829)]
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