我们在学习了二次根式的同时，也学习了三次根式。三次根式是形如³√a的式子。我们了解到二次根式可以参加加、减、乘、除和乘方等五种运算。那么三次根式是否也可以参加这些运算呢？
我个人的猜想是认为可以的：
加、减法：我们先举一个特殊的例子来说明一下。
³√8+³√8=（1+1）³√8=2³√8=2×2=4
2³√8-³√8=（2-1）³√8=³√8=2
说明：加法：³√8+³√8=2+2=4
³√8+³√8=（1+1）³√8=2³√8=2×2=4
减法：2³√8-³√8 =4-2=2
2³√8-³√8=（2-1）³√8=1׳√8=1×2=2
在试过了几个例子之后，我现在初步得出了结论：
总结加减：x³√a+y³√a=(x +y)³√a
x³√a-y³√a=（x-y）³√a
所以，我认为，三次根式相加减，也和二次根式相同，先化简为最简三次根式，然后把同类的三次根式分别合并，合并方法与合并同类项方法相似。
乘、除法：也是先用特殊的例子来说明一下：³√8׳√27=³√（8×27）=³√216=6
³√216÷³√27=³√（216÷27）=³√8=2
证明：乘法：³√8׳√27=2×3=6
³√8׳√27=³√（8×27）=³√216=6
除法：³√（8×27）=³√216=6
³√216÷³√27=³√（216÷27）=³√8=2
经过上面的计算，我发现：³√8׳√27=³√(8×27)
³√216÷³√27=6÷3=2
³√216÷³√27=³√(216÷27)=³√8=2
经过上面的计算，我发现：³√216/³√27=³√(216/27)
那么前面的都是一些及其特殊的例子，下面我们需要用一些不特殊的例子来计算
³√6׳√7 ³√7÷³√6
证明：乘法：³√6׳√7 ≈1.81×1.91≈3.45
³√6׳√7=³√(6×7)=³√42≈3.47
除法：³√7÷³√6≈1.91÷1.81≈1.05
³√7÷³√6=³√（7÷6）≈1.05
从计算器的计算结果来看，答案是基本相似的。
光通过近似计算证明不出来，那么我们试着用代数式来证一下。
乘法：³√a׳√b=³√ab
设³√a=m,³√b=n
则m³=a,n³=b
m³n³=ab
³√m³n³=³√ab
mn=³√ab
³√a׳√b=³√ab
证实猜想成立
除法：³√a÷³√b=³√a/b（b≠0）
设³√a=m,³√b=n
则m³=a,n³=b
m³÷n³=a/b
³√m³/n³=³√a/b
m/n=³√a/b
³√a÷³√b=³√a/b
由此证明猜想成立
由此可得出,三次根式的乘法性质：³√a׳√b=³√ab
那么反过来³√ab=³√a׳√b
三次根式的乘法：三次根号不变，被开方数相乘。
三次根式的除法性质：
³√a/³√b=³√（a/b）（b≠0）
反过来是这样：³√（ab/）=³√a/³√b（b≠0）
三次根式的除法：三次根号不变，被开方数相除。
乘方运算：特殊：（³√8）³=8
（³√8）³ =2³=8
不特殊例子：（³√8）²=2²=4
那么根据上面的证明，我们就可以总结出
乘方：（³√a）³=a
一个三次根式的三次方的结果是被开方数。
所以，通过例举和证明，三次根式是可以参加加、减、乘、除和乘方运算的。
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