31.曼海姆定理

曼海姆定理中使用了一种特殊的圆，有人称其“伪旁切圆”.为什么叫伪旁切圆呢？因为，正宗的旁切圆要切三角形的三边所在的直线，如同内切圆那样做.而曼海姆定理中用的到的一个圆，切三角形的两边所在的直线以及三角形的外接圆.正是这一个特殊的圆带来了很不寻常的性质.

曼海姆定理:一圆与三角形的外接圆相切，且与三角形的两边相切，则两边上切点连线之中点是三角形的内心或旁心.

曼海姆定理之内切情形

先证明这个内切的情形.
如图，一圆内切三角形ABC的外接圆于点D,分别切AB，AC于点E,F.求证：EF的中点K是三角形ABC的内心.

第一步

伪旁切圆和外接圆位似，切点D是位似中心.
DEF和DE'F'这两个三角形位似.如果取伪旁切圆的圆心O，和外接圆的圆心O'，那么，对应的OF//O'F',OE//O'E'，（图中未作图）.

因为AC垂直于OF，O'F'//OF,所以AC垂直于O'F'.根据垂径定理，可知F'平分弧AF'C.同理，E'平分弧AE'B.

连接BF'，CE'则它们分别是角B和角C的平分线.那么，这两线的交点是三角形ABC的内心，设为I，

Pascal定理表明共线

根据Pascal定理，可知，EIF三点公线，即点I在直线EF上.

那么，I是内心，I就在角A的平分线上.而切线 AE=AF，三角形AEF是等腰三角形，所以，点I就与EF的中点K重合.因此EF的中点K，是三角形ABC的内心.

内切这种情况在考试中经常出现.但由于Pascal定理初中教科书没有要求，所以，题目中常常有明确的提示，给出一个位似圆，使得Pascal定理容易证明.或者改变命题方式，简化证明.

这种情况下有平行线，就算教科书对位似没有讲解，利用平行和圆周角定理、弦切角定理也可以证明.

而外切的情况，相对复杂些.虽然同样也是位似，但是是反方向的，就是逆位似.观察起来略费劲些.

但实际上，一般的，关于内心有一个定理，关于旁心也会有个类似的定理.曼海姆定理也如此.

当两圆外切的时候，EF的中点就是三角形的旁心.

曼海姆定理外切的情形

外切的时候，如果不利用位似，那么证明平行需要利用圆周角，弦切角，对顶角过渡，最终用内错角.E'是优弧AE'B的中点，它包含的圆周角是C，那么，它对的圆周角就是C的补角.它的一半，弧AE'所对的圆周角就是C的补角的一半，故CE'平分外角.

同理BF'平分另一个外角.

如上，证明旁心在直线EF上，且重合在点K上.

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