排列组合——排列

学习概率论与数理统计，要用到排列组合的知识，更重要的是要用到排列组合的思维方法，因此，学习概率与统计是很有必要了解一下排列组合的知识的。

以下是两道比较简单的关于排列的问题，相信文科生也是能解的。

题1、三个数字1、2、3，把这三个数字组合成一个三位数，那么能组合成多少个数字，这些数字分别是什么？百位、十位和个位不重复的数有多少个，这些数字分别是什么？
解：先列出百位数为1的所有数：111,112,113,121,122,123,131,132,133总共9个数。然后是百位数为2的所有数：211,212,213,221,222,223,231,232,233总共9个数。最后是百位数为3的所有数：311,312,313,321,322,323,331,332,333总共9个数。
1、2、3能够组成的三位数总共是27个，求百、十、个位不重复的数也很简单，把上面数字中百、十、个位有重复去除：123,132,213,231,321,312，不重复的排列数为6。

题2、三个数字1、2、3，把这三个数字组合成一个两位数，那么能组合成多少个数字，这些数字分别是什么？十位和个位不重复的数有多少个，这些数字分别是什么？
解：
先列出十位数为1的所有数：11,12,13总共3个数。
然后是十位数为2的所有数：21,22,23总共3个数。
最后是十位数为3的所有数：31,32,33总共3个数。
1、2、3能够组成的两位数总共是9个，把上面数字中十位和个位有重复去除：12,13,21,23,31,32，不重复的排列数为6。

以上方法虽然有点笨，但还是能手工解出来的，那么如果换成四位1、2、3、4或五位1、2、3、4、5个数呢？再狠一点，手机号码为11位，问以138开头共可以组成多少个手机号码？估计再用这个方法去解就麻爪了。

为什么我们要学点数字知识呢？其实数字并不仅仅只是买菜算算账，1+1=2这些简单的数字运算，数学更多的是逻辑推理和抽象总结。排列的定义就很简单，一个公式就抽象概括了排列的问题。

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

计算公式为：

不可重复排列数公式.png

流式记法：A(n,m)=n(n-1)……*(n-m+1)=n!/(n-m)!（*为乘号，/为符号，A-Arrangement为排列数，在旧教材为P-Permutation），n!表示阶乘，如6！=6x5x4x3x2x1，别外规定0!=1。

当n>m时称为选排列，n=m时称为全排列。另外排列又分元素可以重复的排列和元素不允许重复的排列，上面的公式是求不允许重复排列数的公式，可以重复的排列数计算公式为：

可重复排列数公式.png

流式记法：A(n,m)=n^m，也就是n的m次方。

所以根据公式，题1不重复排列数就是A(3,3)=3!/(3-3)!=1*2*3*1=6，重复排列数就是A(3,3)=3^{3=27;题2不重复排列数就是A(3,2)=3!/(3-2)!=1*2*3*1=6，可重复排列数就是A(3,2)=3}2=9。

import math
from tkinter import *
class Window:
    def __init__(self, title='排列数计算器', width=300, height=120, staFunc=bool, stoFunc=bool):
        self.w = width
        self.h = height
        self.stat = True
        self.staFunc = staFunc
        self.stoFunc = stoFunc
        self.staIco = None
        self.stoIco = None

        self.root = Tk(className=title)

    def drawCenter(self):
        ws = self.root.winfo_screenwidth()#用户屏幕宽度
        hs = self.root.winfo_screenheight()#用户屏幕高度
        x = int( (ws/2) - (self.w/2) )#距屏幕左边框的像素点数
        y = int( (hs/2) - (self.h/2) )#距屏幕上边框的像素点数
        self.root.geometry('{}x{}+{}+{}'.format(self.w, self.h, x, y))
    
    def createWidgets(self):
        Label(self.root, text="所有元素数n：").grid(row=0,sticky=E)
        Label(self.root, text="取出的元素数m：").grid(row=1,sticky=E)
        Label(self.root, text="不可重复排列数：").grid(row=2,sticky=E)
        Label(self.root, text="可重复排列数：").grid(row=3,sticky=E)
        self.e1 = Entry(self.root)
        self.m = StringVar()
        self.e2 = Entry(self.root,textvariable=self.m)
        self.a1 = StringVar()
        self.e3 = Entry(self.root,textvariable=self.a1)
        self.a2 = StringVar()
        self.e4 = Entry(self.root,textvariable=self.a2)
        self.e1.grid(row=0, column=1)
        self.e2.grid(row=1, column=1)
        self.e3.grid(row=2, column=1)
        self.e4.grid(row=3, column=1)
        self.btnSer = Button(self.root, command=self.click, width=3, height=1,text='运行')
        self.btnSer.grid(row=4,column=1,sticky=E)
        btnQuit = Button(self.root, text='关闭窗口', command=self.root.quit, width=8, height=1)
        btnQuit.grid(row=4,column=2)

    def click(self):
        n=int(self.e1.get())
        m =int(self.e2.get())
        #不可重复排列数
        a1=math.factorial(n)/math.factorial(n-m)
        self.a1.set(int(a1))
        #可重复排列数
        a2=math.pow(n,m)
        self.a2.set(int(a2))
        
    def loop(self):
        self.root.resizable(False, False)   #禁止修改窗口大小
        self.createWidgets()
        self.drawCenter()                       #窗口居中
        self.root.mainloop()

if __name__ == '__main__':
    w = Window(width=350, height=150)
    w.loop()

以上是排列数计算器python代码，下图为关于手机号以138开头共可以组成多少个手机号码的答案截图，由于前三位138已经确认，所以只需要确认后8位的数字，就可以组成11位数字的手机号，0-9有十个数，取8位数，得出可重复的排列数有1亿个，如果手机号是12位的话，就会有10亿个手机号，全国人民用一个号段就差不多够用了。

手机号.png