多体系统描述：齐次变换矩阵法

对于第一次听说齐次变换的同学来说，的确不容易理解其中的来龙去脉。本文以机械臂为载体详细叙述其来源。

1. 姿态变换矩阵

姿态变换矩阵是描述坐标系旋转变换的矩阵。若考虑平移，仅仅在加一个向量即可。

固定坐标系与手爪坐标系
定义两个坐标系：

$O_BX_BY_BZ_B$ ：固定坐标系，基准坐标系，固定在基座上。
$O_EX_EY_EZ_E$ ：手爪坐标系，固定在手爪上。

手爪的位置和姿态可以通过以下的物理量表示：

$^{B}\vec{p}_E \in \mathbb{R}^{3 \times 1}$ ：从 $O_B$ 指向 $O_E$ 的位置向量。约定：右下角标表示所要表示的对象的名称。
$^{B}R_E \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ： $B$ 到 $E$ 的变换矩阵。约定：左上角表示所用的基底所在坐标系。

依据线性变换的几何意义，姿态变换矩阵各列向量即为变换后的空间的基底在原空间的坐标。即： $^{B}R_E = \begin{bmatrix} ^{B}\vec{e}_x & ^{B}\vec{e}_y & ^{B}\vec{e}_z \\ \end{bmatrix}$
这是姿态变换矩阵的最终形式，该矩阵是正交阵。但该变换矩阵具体如何体现机械臂的位置参量，还须进一步讨论。

2. 齐次变换矩阵

二维问题的坐标系

$^{B}\vec{p}_E$ 与 $^{B}\vec{p}_p$ 之间的变换关系可由下向量式表示：
$^{B}\vec{p}_p = \, ^{B}R_E \, ^{E}\vec{p}_p + ^{B}\vec{p}_E$
可以看出，该变换由旋转和平移组成。即定轴转动和平动组合成平面运动。然而我们更喜欢直接用矩阵乘法来对某个对象进行变换操作，这是符合计算机程序设计要求的。因此，数学家想到了矩阵的分块：
$\begin{bmatrix} ^{B}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ^{B}R_E & ^{B}\vec{p}_E \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ^{E}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix} = ^{B}T_E \begin{bmatrix} ^{E}\vec{p}_p\\ 1\\ \end{bmatrix}$
该式即为齐次变换式，矩阵 $^{B}T_E$ 称为齐次变换矩阵。对于2维空间的齐次变换，变换矩阵为 $3 \times 3$ ；对于3维空间，齐次变换矩阵为 $4 \times 4$ 。