计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义。—— 理查德.哈明

行列式

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根据前面的章节，我们看到了空间的一些线性变换，有的将空间向外拉伸，有的则将空间向内挤压，现在让我们来看看这些变换究竟对空间有多少拉伸或挤压，具体一点来说，就是测量一个给定区域面积增大或缩小的比例；

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比如这样一个矩阵 [[3, 0], [0, 2]] ，它将i帽伸长为原来的3倍，将j帽伸长为原来的2倍，如果我们以i帽和j帽为平行四边形的相邻两边，那么这个平行四边形的面积变为了原来的6倍；

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实际上，只要知道i帽和j帽组成的单位正方形面积变化的比例，就能知道任意区域的面积变化比例，因为无论一个方格如何变化，对其他大小的方格来说，都会有相同的变化，这个可以由“网格线保持平行且等距分布”推断得出，对于不是方格的形状，它们可以用许多方格良好近似，只要使用的方格足够小，近似就能足够好，由于所有小方格都进行了一个比例的缩放，所以整个形状也进行了同样比例的缩放；这个特殊的缩放比例，即线性变换对面积产生改变的比例，被称为这个变换的行列式。

比如说，一个线性变换的行列式是3，就是说它将一个区域的面积增加为原来的3倍；一个线性变换的行列式是1/2，就是说它将一个区域的面积缩小一半；而一个二维线性变换的行列式为0，说明它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上，因为此时任何区域的面积都变成了0；

所以只需要检验一个矩阵的行列式是否为0，你就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到了更小的维度上，

行列式的正负

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到目前为止，我们所说的行列式概念并不完全正确，完整概念下的行列式是允许出现负值的，行列式的正负和取向的概念有关。举个例子，如上图的变换，在感觉上整个平面翻转了，我们称这些类似的变换反转了空间取向。

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另一种理解的方式是根据i帽和j帽来考虑，在初始状态时，j帽在i帽的左边，如果在变换之后，j帽处于i帽的右边，那么空间就被反转了，当空间取向被反转的情况发生时，行列式就为负值，但是行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。

三维空间的行列式

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三维空间的行列式依然是变换前后的缩放比例，不过这里说的是体积的缩放，二维空间中，我们最容易考虑的是以i帽和j帽为边的面积为1的正方形，并且观察变换对它的影响。在三维空间中，也是类似的道理，我们选取以i帽、j帽、k帽为棱的立方体，在变换后，这个立方体一般会变成任意形状的平行六面体。

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如果行列式为0，则意味着整个空间被压缩为零体积的东西，也就是一个平面或一条直线，或者极端情况下，一个点；此时也可以说矩阵的列线性相关。

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那么对于负值行列式在三维空间下是什么意思呢？这里有一个判断法则——“右手定则”

• 右手食指指向i帽的方向
• 右手中指指向j帽的方向
• 右手大拇指指向k帽的方向

如果在变换后，右手定则依然生效，那么空间取向没有翻转，行列式为正；否则，在变换后你只能用左手这么做，说明空间取向发生翻转，行列式为负；

行列式计算

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对于二维空间行列式的直观计算，就是简单的几何图形面积的计算，不做赘述。

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上面是三阶行列式的计算公式，想想那些更高阶的行列式计算，计算公式会更加复杂和啰嗦，其实你完全没必要记这些公式，只需要明白行列式的含义即可，剩下的交给计算机就行了。