一个总体参数的区间估计

作者: echolvan | 来源:发表于2020-05-15 15:26 被阅读0次

当总体服从正态分布且 $\delta^2$ 已知时，或者总体不是正态分布但大样本时，样本均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值 $\mu$ ，方差为 $\frac{\delta^2}{n}$ 而样本均值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布。

总体均值的区间估计

总体分布	样本量	$\delta已知$	$\delta未知$
正态分布	大样本n>=30	$\overline{X}\pm Z_\frac{\alpha}{2} \frac{\delta}{\sqrt{n}}$	$\overline{X}\pm Z_\frac{\alpha}{2} \frac{\delta}{\sqrt{n}}$
正态分布	小样本n<30	$\overline{X}\pm Z_\frac{\alpha}{2} \frac{\delta}{\sqrt{n}}$	$\overline{X}\pm t_\frac{\alpha}{2} \frac{\delta}{\sqrt{n}}$
非正态	大样本n>=30	$\overline{X}\pm Z_\frac{\alpha}{2} \frac{\delta}{\sqrt{n}}$	$\overline{X}\pm Z_\frac{\alpha}{2} \frac{s}{\sqrt{n}}$

总体比例估计

这里就忽略了，0-1二项分布
$\mu = p, \delta^2 = p(1-p)$

总体方差的区间估计

我们只讨论正态总体方差的估计问题
根据样本的抽样分布可知，样本方差服从自由度n-1的 $\chi^2$ 分布, 因此用 $\chi^2$ 分布构造总体方差的置信区间。
建立总体方差 $\delta^2$ 的置信区间也就是要找到一个 $\chi^2$ 值，使其满足： ${\chi^2}_{1-\alpha/2} \leq {\chi^2} \leq {\chi^2}_{\alpha/2}$
由于 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{X})^2}{n-1}$
$\frac{(n-1)s^2}{\delta^2}$ 服从 $\chi^2$ 分布
${\chi^2}_{1-\alpha/2} \leq \frac{(n-1)s^2}{\delta^2} \leq {\chi^2}_{\alpha/2}$
推导出总体方差 $\chi^2$ 在 $1-\alpha$ 置信水平下的置信区间
$\frac{(n-1)s^2}{{\chi^2}_{\alpha/2}} \leq {\delta^2} \leq \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2}_{1-\alpha/2}}$

一个总体参数的区间估计

总体均值的区间估计

总体比例估计

总体方差的区间估计

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