今天继续阅读《小学数学教材中的大道理》课题6关于教材编写要注意防止片面的思维定势。张奠宙教授提到了教材中关于“包含除”的平衡不够，他也提到了后续的学习中包含除的需求对分数除法特别强烈。引进了一些国外的例子介绍了分数除法中的颠倒相乘的法则的正确性，给出了直观图形，尤其是从面积为1的正方形揭示出为什么六分之五除以三分之一等于六分之五乘三等于二又二分之一。也是用面积大小的包含关系来说明。

数学的价值

这让我想到了一个关于数学价值的视频，阿瑟.本杰明演讲，这是一个TED演讲，关于为什么我们学习数学？有三个功能，计算和应用，最后一个很不幸的是，激发灵感。数学是研究规律的科学。我们通过学习数学来训练逻辑思维能力、思辨能力和创造能力，但是我们在学校学到的数学，根本没有激发我们的兴趣，当我的学生问我，我为什么学习这个，考试要考，之后还要学习。如果我们能够让学生激发灵感，这不是很棒吗？有没有这样的可能，哪怕是只有那么一会儿，我们研究数学仅仅是因为自己的兴趣，或者是数学的优美。现在，我们知道很多人，以斐波那契数列为例，我们可以从不同的角度来看斐波那契数列，可以从计算角度，可以从应用角度，还可以从欣赏角度。1,2，3,5,8......在自然界的花儿。太阳花、菠萝等都是漂亮的斐波那契数列。如果计算1,4,9,25,64，.......,如果把加起来你会发现什么？

数学的价值 数学的价值

从不同角度看一个矩形，就会得到不同的算式。一个世纪以来，我们给你看着这个，我们的知识何其的知识，请不要记住数学的价值，还能教我们思考，数学不仅教我们知识，还教我们为什么？

云自无心水自闲一句来自于白居易的《白云泉》。全文是：“天平山上白云泉，云自无心水自闲。何必奔冲山下去，更添波浪向人间。”

你以为你以为的是你以为的吗？这是我听到过的简单的一句话，今天我聆听了一节课张宏伟老师执教的课。这节课让我对这句话有了更深地理解。因此，在一边听课记录笔记，一边思索内心的情绪变化。我想说，真正的悠闲一定是来自于内心的凝练，这些凝练有来自数学的知识的本身的结构化的凝练，也有来自数学教师的教学语言的凝练，也有来自儿童的表达思考的凝练。因此，在这个满天洒满了明亮的月光，月儿非圆的一个晚上，让我沉浸在一节课当中，一种心灵的宁静，一种万物的联系，一种雪飞的思考，一种圆融的感悟，一种.......

月光如水水如天

师：你原来看到四五二十？

师：你们想到乘法和除法的问题，很多人知道了可以算加法和减法。

师：你们真了不起。

师：四五二十能解决四种运算，说明四种运算是有关系的？

悠悠闲处作奇峰

师：加法和乘法有什么关系？

生：乘法是加法的简便运算。

师：哪里简便？

生：加法要加四个五，才能得到加法。乘法需要一个算式就可以了。

师：你觉得呢？

生：加法和乘法可以交换过来。

师：听一定理解别人意思，并能够表达。

生：这两个算式可以表达相同的意思。这两个的含义一样。

师：其实，有一个诀窍，比如说四乘五就是个，反过来就是乘法。其实一个乘法算式表示两个简单的加法算式。

师：7乘8表示。

生：7个8相加，和8个7相加。

师：乘法是加法的简便运算。还有不同意见吗？没有了

师：我问你1+2+3能不能改为乘法？

不能吗？

生：因为它的数不同，不能改为乘法。

师：为什么？

生：因为1+2是先算，合起来就是3+3就是变成了两个3就是2乘3就是6.

师：别着急，刚才那个同学也有支持者。因为加数不一样。刚才同学说的对不对？

生：他们说的都对。没有改变，就是对的；如果改变了，就是对的。

师：第一个孩子是对的，第二个孩子是改变成一个相同的加数，那么乘法是什么样的加法简便运算？

第二个孩子改为了2×3，可以改为3×2，还可以改为不一样的乘法吗？

生：就是可以改为最后3把一个数放在1的上面，就是3乘2等于6，就是把3里面的一个数拿出给它，那么就是变成了2.

师：把不一样的变成一样的，就是乘法？还有什么样的呢？

生:2+5

师：用1＋2+3=6就是一个6

生：一个6

师：还有不一样的吗？

生：3放在1上面，3-1=2 2乘2等于4。

师：能不能改为一道乘法算式？

生：改为1乘6和6乘1。

师：还有想的不一样的吗？

生：我有一个办法，我们可以变成2个1,3变成3个1 ，大家看明白了吗？

师：它变成了6个1，是不是对的？

生：掌声。

师：但是先把算式变成一样的吗？

生：我觉得可以这样，把这样的看成减法，3-2=1，就是可以看出一个1，这样就可以，我就是觉得在一起

师：最后变成了什么。

生：1。

师：改变不了大小。

还有吗？

生：可以改为3加1等于4.然后4给它一个还是3，还是变成了2个3，这个都有的不算了。

师：还有吗？

2和3写成2×3×1。

师：别着急。

生：还可以这样，先把1和3加起来是4，还是分给3。

师：难道你们只能拆到1就不能往下再拆吗？

生：这个1可以变成两个0.5，

师：一共有多少个0.5？12个0.5.

你说

生：12乘0.5。

师：还能往下拆吗？

生：0.1。

师：那我们拆下去，可以把一道题改为多少种乘法算式？

原来以为一道乘法算式可以改为无数道乘法算式，可以改为相同加数的简便运算。

慢慢轻云落月光

这个世界有两种关系，一种是相近关系，一种关系是相反的关系。

师：那么我问你，你觉得乘法和除法是什么关系？

为什么？你从哪里看出来的？给大家讲一讲？

生：它们的关系是减法关系。

师：两种基本关系，一种相近关系，一种相反关系。

生：相反关系。

师：你从哪里看出来是相反的关系？

生：我从这里看出来（孩子指着板书，除号是很小的数，这两个相反。

师：加的越来越大。还有不同的想法？

生：四五二十，

师：这个孩子注意到外在形式，还有哪里看出来相反？

生：相近

师：我同意相近的

生：他们可以联系算

师：相反是不是从小算出大，从大算出小，乘法是这些东西合起来，除法了？

生：除法是分。

师：合起来和分开是什么关系？

生：我比较欣赏同学的关系，不仅有相反关系，也有相近关系，这个就是有联系，也就是乘法是除法的逆运算。

生：你看，一直加到20，这边是一直减到20.这是相反的

师：还有什么关系？

生：因为，我把加法加起来，比方我把四个五加起来，可以分开，我觉得是相近的

师：你同意他相反。

生：我觉得是相连的。

因为，它们都用到了20和4和5。

师：但是形式和意义上，表示出的是不一样的。乘法的意义是合起来，表现的基本关系是相反的。

唯解漫天作雪飞

减法和除法关系

生：减法和除法是相近关系，它们都是越算越小。

师：还有哪些地方可以看出？

生：这个可以表示，四个五和

师：我明白你的意思，20里面有几个5？

生：20除以5等于4

师：太棒了

师：在没有学习除法之前我们怎么做？

生：20减去4个5

师：可以用连减法做

生：我觉得是两个相近，这两个都是减法。

师：还可以看出？

生：都是分出来的？

师：从某种意义上看，除法比减法简便。我们研究了四个关系，还可以研究谁和谁的关系？

生：乘法和除法的关系？

师：我们已经研究完了

生：乘法和减法的关系？

师：还有谁和谁的关系？

生：加法和除法的关系？

师：你觉得加法和除法的关系？

是相近关系还是相反关系

生：我觉得是相反关系？

师：为啥？

生：加法是越加越大，除法是分，意义是相反的

生：我觉得是相近的。4个5，也是4个5，都是有联系的。

师：你也是对的。她从意义上说，加法是合起来，从哪个地方看出相反？

生：我认为相反关系

生：一直加到20，这个是知道20，反过来去求。

师：太棒了。

生：我认为这个是相近的，都是4个5.

师：因为，加法是越来越大，除法是越来越小。我们从另外角度是，加法和除法是不是一回事？

师：这种方法是推理，我们知道这样的关系。

生：乘法和加法的意思是一样的，乘法和除法的意思是相反的。加法是不肯能和除法的意思相近，而是相反的。

师：剩下最后一个，刚才研究加法和除法？你觉得乘法和减法是什么关系？

生：我觉得应该是相反的关系？

师：一个是合，一个是分。

还有从哪个角度是相反的。

生：乘法是越算越大，

师：你能不能用推理的方法说明。

师：回过头来，我们研究了6种关系，加法和乘法是什么？减法和除法是什么关系？

几个相近？几个相反？

生：乘法和除法有补充，四五二十，如果4乘5得到20，减法也得不到。

师：其实，你们这个班级孩子真了不起。其实你们的关系，如果手掌的正面和反面始终在一个吗，有一个人光有手面没有手心，后边同学说的真好，他们说的相近和相反。他们关系是除法和乘法的关系，从这个意义上面，这个求出来，这个知道的，这个都是四个五。

昨夜圆非今夜圆

师：课上到这里，你对乘法口诀的认识有改变吗？

生：一句乘法口诀可以算出加减乘除、

师：还有不一样的改变吗？

生：相近和相反的关系

师：四种运算的关系

师：原来不知道，现在知道的

生：原来不了解乘法口诀，现在了解了。一句乘法口诀可以列出8个算式。

生：我还知道了，如果非要把加法改为乘法的时候，如果不是一样的，可以改为零点几或者零点几分。

生：我知道了用推理的方法。

生：我还知道了乘法、除法、加法、减法的关系

师：他们之间有关系。

生：不同的加数不能写出乘法算式，不同加数还可以写出许多乘法算式。

师：你们会觉得四五二十，里面藏着知识很多，任何知识都永远存在不知道的知识。

咏课

静若如兰

昨夜一课非今夜，却疑此处景如荷。

加减乘除一歌诀，能得无限却有泽。

以上文字非常稚嫩，有些不完整、些许朴实，却也是我于2018年5月26日晚上学习的全部的记录与感悟，用现象学的视角解读自己的思考，回到事情本身，从我看到的课的现象反观课的本质，我更多感悟到的是一种数学的推理（相近关系与相反关系）、数学的思想（有限与无限的关系）、数学的抽象（特殊与一般的关系）。

此文完成于2018年5月26日晚11时40分。