定义

我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。(比如 a²=-1 求a的根,结果 a = i;在实数领域是没有解,复数领域有解. )

主要推论

定义

数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d))：
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

为啥这么写,因为 我们这里定义的虚数是 i² = -1;
那么 z1+z2 = a+bi+c+di = (a+b)+(b+d)i =(a+c,b+d)
z1 × z2 = ( a+bi)(c+di) = ac+ adi +bci+ bdi²= ac+ adi +bci- bd = (ac-bd,ad+bc)

容易验证，这样定义的有序对全体 在有序对 的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数z，我们有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

z = (a +0 ×i) + (0+ i)×(b+0×i) = a + i × b

令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。

记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如

的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且

（a，b是任意实数）
我们将复数

中的实数a称为复数z的实部（real part）记作Rez=a
实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b.
当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。

复数集是无序集，不能建立大小顺序。

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.

即对于复数

，它的模

共轭复数

定义

对于复数

，称复数

为z的共轭复数
即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数z的共轭复数记作
。

性质

根据定义，若

(a，b∈R），则

（a,b∈R）。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：x+yi与x-yi称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于X轴对称，而这一点正是"共轭"一词的来源----两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加个"一"就表示x-yi，或相反 ^[1] 。

共轭复数有些有趣的性质：

坐标系表示关系

复数的辐角

复变函数

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数

定义

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为
w=ƒ(z)
这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。

如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。

复变函数需要时复数是一个自变量z. 还需要一个确定的规则 u+iv

概述

在复变函数中，自变量z可以写成

，r是z的模，即r = |z|；θ是z的辐角，记作： Arg（z）。在-π到π间的辐角称为辐角主值，记作： arg（z）（小写的A）。

这里我的理解
如何表示 模等于r的全部虚数呢? 其实我们可以借助于坐标系来看

z=a+bi, |a|=r 就是表示一个圆.因此a+bi = rcosθ+rsinθ*i = r(cosθ+sinθi)

定义

任意一个不为零的复数

的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。辐角的主值是唯一的。

指数形式：

为啥可以写成指数形式,可以看欧拉公式

运算法则

加法法则

复数的加法法则：设z₁=a+bi，z₂=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i²= -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即

除法法则

复数除法定义：满足

的复数

叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
即

开方法则

若zⁿ=r(cosθ+isinθ），则

（k=0，1，2，3…n-1）

运算律

加法交换律：z1+z2=z2+z1
乘法交换律：z1×z2=z2×z1
加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

I⁴ⁿ⁺¹=i, i⁴ⁿ⁺²=-1, i⁴ⁿ⁺³=-i, i⁴ⁿ=1（其中n∈Z）

单位根

n 次单位根是指能够满足方程 z<sup>n</sup>=1 的复数.这些复数一共有 n 个它们都分布在复平面的单位圆上，并且构成一个正 n 边形，它们把单位圆等分成 n个部分

根据复数乘法相当于模长相乘，幅角相加就可以知道，n 次单位根的模长一定是 1，幅角的 n倍是 0
这样，n 次单位根也就是

这里为啥是采用e 而不是其他的底数呢?
因为 n次单位根的模长=1, 在复变函数中 ,自变量z就可以写成 z = cosθ+isinθ .
根据欧拉公式 z = e^iθ .到这里z的取值就是在单位圆上.有无穷个点.需要继续限制
在z上,我们只需要n个就可以了.因此,我们就把圆平分n分就可以了. 下列表示

image.png

再根据欧拉公式

就可以知道 n次单位根的算术表示

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