复数、欧拉公式和复指数信号

作者: remName | 来源:发表于2020-12-02 21:38 被阅读0次

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一、复数定义

$形如 a + bi，其中 i^2=-1。$

二、复数运算与几何意义

复数可以表示为复平面的向量，其中a为实轴坐标，b为虚轴坐标。

对任意两个复数 $A_1 = a_1 + b_1i 和 A_2 = a_2 + b_2i$

复数加法法则

由向量加法的平行四边形法则，可得

$A_1 + A_2 = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2)i$

不同于向量的点积（内积）

$(x_1,y_1) \cdot(x_2,y_2) = x_1x_2 + y_1y_2 , 或者 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

以及向量的叉乘（外积）

$\vec{a} \times \vec{b}结果为矢量，大小为 |\vec{a}| *|\vec{b}|cos\theta或x_1y_2-x_2y_1,方向由右手定则确定$

复数乘法法则为

$A_1A_2之长是A_1之长与A_2之长的乘积，A_1A_2的辐角是A_1与A_2的辐角之和。$

$i^2即可理解为：i逆时针旋转90度，所以结果为-1。$

共轭复数：

复数对实轴的反射， $a + bi的共轭复数为 a -bi$ 。

极坐标下的复数乘法

$(A \angle\alpha)(B\angle\theta) = (AB)\angle(\alpha+\theta)$

三、欧拉公式 $e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta$

$e^{i\theta} 表示以单位圆上辐角为\theta为终点的向量。$

欧拉公式的幂级数论证

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...,$ 所以

$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + ...,$ 由正弦和余弦展开式，显然欧拉公式成立。

欧拉公式将指数和正余弦函数统一起来，一些三角函数用指数形式很容易解决和理解。

四、复指数信号

连续复指数信号

对于连续复指数信号 $x(t)=e^{i\omega t}$ ,可以看成是以角速度 $\omega$ 转动，转动时间为 $t$ 的信号。显然复指数信号可以分解上正弦信号和余弦信号。

$e^{i\omega t}=cos(\omega t)+isin(\omega t)$

当 $\omega$ 不等于0时，所有的 $e^{i\omega t}$ 都是周期信号， $e^{i\omega t}$ 是随着时间 $t$ 的增长，在单位圆上，以角速度 $\omega$ 做周而复始的圆周运动，显然必然会在一定的时间 $T$ 回到相同的位置， $T$ 最小时，即刚好转动一周的时间叫做基波周期。因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，而复指数信号是周期的，所以正余弦信号也都是周期的并且其周期相同。

离散复指数信号

对离散复指数信号 $x[n]=e^{i\omega n}$ , $n$ 为0到无穷上的正整数。该信号可以理解为每隔弧度 $\omega$ 在连续复指数信号上的采样，离散复指数信号也可以分解成离散的正余弦信号。和连续复指数信号不同的是，离散复指数信号不一定是周期的。对离散信号而言，周期信号的定义为：

$x[n+N]=x[n]，N为正整数$ 。

当 $2\pi$ 能整除 $\omega$ 时，即 $2\pi /\omega =N$ 时，显然此时，离散复指数信号时周期的并且周期信号为N，对应连续信号刚好转动一周。

当 $2\pi m/\omega =N$ , $m$ 也为正整数，表示连续信号转动的周数。当 $2\pi m能整除\omega$ 时，则间隔 $N$ 个点，或者间隔 $m圈$ ，又回到了相同的地方，所以此时离散信号也是周期的， $m$ 最小时对应的 $N$ 为基波周期。

其他情况，无论转动多少周，都会不到原点，显然是非周期的。

同样离散复指数信号对应的离散正弦和余弦有相同的性质，即有相同的基波周期。

离散信号和连续信号另一个主要不同是，当 $角速度= 2\pi +\omega$ 时：

$e^{i(2\pi +w)n}=e^{i2\pi n}e^{i\omega n}=e^{i\omega n}$

显然角速度 $\omega$ 和角速度 $\omega +2\pi$ 对应的离散信号完全一致。从几何上理解就是，即间隔 $\omega$ 和间隔 $\omega + 2\pi$ ，从圆上采样，显然结果没有区别。也就是说当角速度 $\omega >2\pi$ 时，不会再有新的信号。

因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，所以离散正余弦信号也有这个特点，即

$cos(\omega n)=cos((\omega +2k\pi )n)$ , $k$ 为非负这整数。

参考文献：

复分析-可视化方法

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