常见的连续型随机变量

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-13 02:01 被阅读0次

均匀分布

定义:若随机变量X的概率密度为
$f(x)=\begin{cases} {1 \over b-a}& ,a<x<b\\ 0 & ,其他 \\ \end{cases}$
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$ ,其分布函数为
$F(x)=\begin{cases} 0& ,x<a \\ {x-a \over b-a}& ,a≤x<b \\ 1 & ,x≥b\\ \end{cases}$
注：X在区间(a,b)上服从均匀分布具有下述意义的等可能性:它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性相同;或它落在(a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。
例1：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900Ω～1100Ω。求R的概率密度，R落在950Ω～1050Ω的概率，及R落在750Ω～1050Ω的概率。
解：由R均匀分布在900Ω~1100Ω之间， $X\sim U(900,1100)$ ,故概率密度为：
$f(R)=\begin{cases} {1 \over 200}& ,900<\rm R<1100\\ 0 & ,其他 \\ \end{cases}$ 因此, $P\{950<R<1050\} = \int_{950}^{1050} f(R)dR=\int_{950}^{1050} {1 \over 200}dR=1$ $P\{750<R<1050\} = \int_{900}^{1050} f(R)dR=\int_{900}^{1050} {1 \over 200}dR={3 \over 4}$

正态分布

定义：若随机变量X的概率密度为
$f(x)={1 \over \sqrt{2π}σ}e^{-(x-μ)^2 \over 2σ^2}$ 其中 $μ,σ$ 为常数，且 $σ>0$ ，则称X服从参数为 $μ,σ$ 正态分布，记为 $X\sim N(μ,σ²)$ ，其分布函数为
$F(x)=\int_{-\infty}^x{1 \over \sqrt{2π}σ}e^{-(t-μ)^2 \over 2σ^2} dt,x∈(-\infty<x<+\infty)$ 正态分布的分布函数目前还积不出来。

概率密度函数f(x)图形的性质：

(1)对称性：
曲线关于

x=μ

对称,

P\{μ－h＜x＜μ\} = P\{μ＜x＜μ＋h\}

f(x)

在

x∈(-\infty,μ]

上单调递增

f(x)

在

x∈[μ,+\infty)

上单调递减
(2)最大值:
当

x=μ

时，

f_{max}(μ)={1 \over \sqrt{2π}σ}

(3)凹凸性:

f''(x)={(x-μ)^2-σ^2\over \sqrt{2π}σ^5}e^{-(x-μ)^2 \over 2σ^2}

拐点只可能在

f''(x)=0

情况出现,因此

(x-μ)^2-σ^2=0,x-μ=±σ

，在这个点的两侧，凹凸性发生了变化。拐点为：

x_1=μ-σ,x_2=μ+σ

(4)渐近线

\lim_{x \to \infty}{1 \over \sqrt{2π}σ}e^{-(x-μ)^2 \over 2σ^2}=0

当x趋近于无穷大时，有水平渐近线：y=0 即X轴。
(5)

μ,σ

变化时的情形:
①固定

σ

,变化

μ

的取值；图形沿x轴平移，形状不变，

μ

作为位置参数。

②固定

μ

,变化

σ

的取值；根据

f_{max}(μ)={1 \over \sqrt{2π}σ}

当

σ

越大的时候，

f(x)

越小，图像越矮。
当

σ

越小的时候，

f(x)

越大，图像越高。

标准正态分布： $X \sim N(0,1)$

$φ(x)={1 \over \sqrt{2π}}e^{-x^2 \over 2},x∈(-\infty<x<+\infty)$ $Φ(x)=\int_{-\infty}^x{1 \over \sqrt{2π}}e^{-t^2 \over 2} dt$ $Φ(-x)=1-Φ(x),Φ(0)={1 \over 2}= P\{X≤0\}$

关于 $X\sim N(μ,σ²)$ 的计算
问题：若 $X\sim N(μ,σ²)$ ，如何求X相关事件的概率。
方法1：数形结合 $f(x):x=μ$
例： $X\sim N(2,6²)$ 且 $P\{2<X<4\} = 0.3$
则 $P\{0<X<2\}=$ ______.
解：已知 $μ=2$ ,因此正态分布关于x=2对称，而 $P\{2<X<4\} = 0.3,$ 而区间 $(0,2)$ 刚好与 $(2,4)$ 关于 $x=2$ 对称,如图所示,因此 $P\{0<X<2\} =0.3$ 。

方法2：将

X\sim N(μ,σ²)

转化为

X \sim N(0,1)

。
引理：若

X\sim N(μ,σ²)，则{X-μ \over σ}\sim N(0,1)

重要结论

设 $X\sim N(μ,σ²)$ 则
① $P\{X≤x\}=P\{{X-μ \over σ}≤ {x-μ \over σ}\} =Φ({x-μ \over σ})$ 然后通过查 $Φ(x)$ 分布函数表解决。
② $P\{x_1≤X≤x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=Φ({x_2-μ \over σ})-Φ({x_1-μ \over σ})$
例：已知 $X \sim N(1,4);求P\{ 0<X≤1.6\}$
解：由题可知 $x_1=0,x_2=1.6,μ=1,σ=2$
$Φ({1.6-1 \over 2})-Φ({0-1 \over 2})=Φ(0.3)-Φ(-0.5)$ $=Φ(0.3)-(1-Φ(0.5))$
例2：将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器定在 $d °c$ ，液体的温度X(单位°c)是一个随机变量，且 $X\sim N(d,0.5^2)$ 。(1)若 $d=90 °c$ ，求 $X$ 小于 $89 °c$ 的概率;(2)若要求保持液体的温度至少为 $80 °c$ 的概率不低于 $0.99$ ，问d至少为多少?
解：(1)已知 $μ=d=90°c,σ=0.5$ ,那么 $P\{X<89°c\} =Φ({89-90 \over 0.5})=Φ(-2)=1-Φ(2)$
(2) 就是要满足 $P\{X≥80\}≥0.99$ ，因此 $1- P\{X<80°c\} =1-Φ({ 80-d \over 0.5})=Φ({d-80 \over 0.5})≥0.99$

指数分布

定义：若随机变量X的概率密度为
$f (x)=\begin{cases} {1 \over θ}e^{-x \over θ}& ,x>0\\ 0 & ,其他 \\ \end{cases}$ 其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。其分布函数为：
$F(x)=\begin{cases} 0 & ,x<0 \\ 1-e^{-x \over θ}& ,x≥0\\ \end{cases}$
例如： $X \sim exp(2)$

概率密度： $=f(x)=\begin{cases} {1 \over 2}e^{-x \over 2} & ,x>0\\ 0 & ,其他 \\ \end{cases}$

分布函数： $=F(x)=\begin{cases} 0 & ,x<0 \\ 1-e^{-x \over 2}& ,x≥0\\ \end{cases}$

计算 $P\{X >4\}=1-P\{X ≤4\},F(x)=P\{X ≤x\}\$
$=1-F(4)=1-[1-e^{-4 \over 2}]=e^{-2}$

无记忆性：对任意 $s,t>0$ ,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}.

例：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为：

f_x(x)=\begin{cases} {1 \over 5}e^{-x \over 5}& ,x>0\\ 0 & ,其他 \\ \end{cases}

某顾客在窗口等待服务，若超过10min,他就离开，他一个月要到银行5 次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。试写出Y的分布律，并求P{Y ≥1}。
解：假设事件A：到银行未等到服务而离开窗口，已知用X代表等待服务时间，因此可以表示为{X>10}
E：①等到了服务②未等到服务
n=5：一个月去银行5次，相当于进行了5重伯努利试验

从而满足 $Y \sim b(5,p)$ ，因此需要求出 $p,p=P(A)$
$P(A)=P\{ X>10\} =1-P\{ X≤10\}=1- F(10)=e^{-2}$
故 $Y \sim b(5,e^{-2}),$ 那么
$P\{Y= k\} =C^k_5(e^{-2})^k(1-e^{-2})^{5-k}(k=0,1,2,3,4,5)$
$P\{Y ≥1\} =1-P\{Y<1\} =1-P\{Y=0\}$
$=1-C^0_5(e^{-2})^0(1-e^{-2})^{5}=e^{-10}$

某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者的考试成绩 $X \sim N(μ,σ^2)$ .已知90分以上的12人,60分以下的83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人能否被录取?附表: $Φ(0.54)= 0.7053,Φ(0.8)=0.7881$ , $Φ(1.0)=0.8412,Φ(2.0)=0.9772$
解：题目中未给出 $X \sim N(μ,σ^2)$ 中的 $μ和σ$ ，因此需要先求出来。
根据已知条件有：90分以上的12人,60分以下的83人。
$P\{ X>90\}={12 \over 526}≈0.0228$
$P\{X≤90\}=1-P\{X>90\}≈1-0.0228=0.9772$
又因为
$P\{X≤90\} \to^{标准化} P\{{X-μ \over σ} ≤ {90-μ \over σ}\}=Φ({90-μ \over σ})$
所以 $Φ({90-μ \over σ})=0.9772$ ,反查表得 ${90-μ \over σ}≈2.0$
同理：
$P\{ X<60\}={83 \over 526}≈0.1588$
$P\{X<60\} \to^{标准化} P\{{X-μ \over σ} < { 60-μ \over σ}\}=Φ({60-μ \over σ})$
$Φ({60-μ \over σ})≈0.1588,Φ({μ-60 \over σ})≈1-0.1588=0.8412$ 反查表得 ${μ-60 \over σ}≈1.0，$ 由此联立方程有：
$\begin{cases} {90-μ \over σ}≈2.0 \\ {μ-60 \over σ}≈1.0 \\ \end{cases}$ 解得： $\begin{cases} μ = 70 \\ σ = 10 \\ \end{cases}$ 故 $X\sim N(70,10^2)$
某人成绩78分，能否被录取，关键在于录取率，已知录取率为： ${155\over 526}≈0.2947，$ 看能否被录取解法有二。
方法一：看 $P\{X>78\} =?$
$P\{X>78\} =1- P\{X≤78\} =1- P\{{X-70 \over 10} < { 78-μ \over 10}\}$ $=1-P\{X^* ≤ 0.8\}=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119$ $因此0.2119<0.2947(录取率)，所以此人能被录取.$
方法二：看录取分数线，设被录取者最低分数线为X₀，则 $P\{X>x_0\}=0.2947(录取率)，P\{X≤x_0\}=1- P\{X>x_0\}$ $≈1-0.2947=0.7053$ 。
而 $P\{X≤x_0\}=P\{{X-70 \over 10} < { x_0-70 \over 10}\} = P\{X^*≤ { x_0-70 \over 10}\}$ $Φ({x_0-70 \over 10})≈0.7053.$
反查表得 ${x_0-70 \over 10}≈0.54，解得x_0=75.$
因此某人成绩78分，在75之上，所以能被录取。