2019-07-25 iMPS压缩算法

一般设计两种算法：

1. SVD得到初值
2. ALS进行进一步的优化

在实际使用过程中发现，

• 当D不够大时，ALS对精度的改进有限

=== D=10 iMPS Variation Compression =====
 
distance for SVD: 9.0873e-06
final distance for two-site reduced svd- density matrix: 7.4879e-06
distance for ALS: 7.263e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
distance for ALS: 7.2607e-06
final distance for two-site reduced als- density matrix: 5.437e-06

• 当D大时，ALS对精度有几个量级的改进

=== D=40 iMPS Variation Compression =====
distance for SVD: 1.0968e-08
final distance for two-site reduced svd- density matrix: 1.0886e-08
distance for ALS: 1.6257e-11
distance for ALS: 1.6257e-11
distance for ALS: 1.6256e-11
distance for ALS: 1.6257e-11
distance for ALS: 1.6258e-11
distance for ALS: 1.6257e-11
distance for ALS: 1.6256e-11
distance for ALS: 1.6257e-11
distance for ALS: 1.6256e-11
distance for ALS: 1.6257e-11
final distance for two-site reduced als- density matrix: -8.3045e-14

关于 3legladder 的处理

3legladder由于各处维度较大，原本不耗费时间的步骤，一个个均成为效率瓶颈。今晚跟波哥喝酒，回家趁着酒兴，对代码进行了优化，取得了满意的结果。

代码优化方法

1. 原算法先构造UAB，再整个进行SVD来得到新的A和B。我现在先对U进行SVD，然后缩并得到A，B。此过程避免了大矩阵的SVD分解。

2. 原算法借助SVD求解新张量的初值，再进行ALS优化。我现在取随机初值，再ALS。

3. 原算法用eigs配搭函数句柄求环境张量。我现在先显式地求出转移矩阵T，再eigs。

测试

在Mac上粗测，原版本处理3legladder耗费时间为天文数字。
现在的版本，完成一次演化只需7秒。