小题(中等){计数原理，数字问题,排课问题}

作者: 7300T | 来源:发表于2019-05-02 14:27 被阅读1次

用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，这些五位数中
（1）偶数有多少个？
（2）能被5整除的数有多少个？
（3）比 40000 大的数有多少个？

尝试思考

【问题特征】计数问题.
【问题的解答】
思路特殊位置优先考虑
（1）解画出框图，如图1，

图1

自左至右依次为万、千、百、十、个位，万位为1，2，3，4，5，个位为0，2，4.
所有偶数分为两类：
①个位为0，有 $A_5^{4}$ 个；
②个位为2，4，分3步完成，
第一步确定个位，有 $A_2^{1}$ 种方法，
第二步确定万位，有 $A_4^{1}$ 种方法，
第三步确定其他位，有 $A_4^{3}$ 种方法，
故个位为2，4的五位教有 $A_2^{1} \cdot A_4^{1}\cdot A_4^{3}$ 个.
所以这些五位数中偶数的个数为 $N_1=A_5^4+A_2^1 \cdot A_4^1 \cdot A_4^3=120+2\times 4\times 24=312$ .
（2）解: 万位为1，2，3，4，5，个位为0，5.所有能被5整除的数分为两类：
①个位为0，有 $A_5^{4}$ 个；
②个位为5，分2步完成，
第一步确定万位，有 $A_4^{1}$ 种方法，
第二步确定其他位，有 $A_4^{3}$ 种方法，
故个位为5的五位教有 $A_4^{1}\cdot A_4^{3}$ 个.
所以，这些五位数中能被5整除的数的个数为
$N_2=A_5^{4}+A_4^{1}\cdot A_4^{3}=120+4X24=216$ .
（3）解万位为4，5，分2步完成，
第一步确定万位，有 $A_2^{1}$ 种方法，
第二步确定其他位，有 $A_5^{4}$ 种方法，
所以这些五位数中比40000大的数的个数为
$N_3=A_2^{1}\cdot A_5^{4}=2\times120 =240$ .
【注意点】
解决有限制条件的排列问题的常见策略有
（1）特殊位置（元素）优先考虑：先安排特殊位置（特殊元素），再排其他位置（其他元素）；
（2）间接法：先不考虑限制条件（或部分限制条件）的排法数，再去掉不满足限制条件（或部分限制条件）的排法数.

【相关问题】
1.由0，1，2，..，9这10个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是___.

尝试思考

【答案与提示】

提示：由十位数字与千位数字之差的绝对值等于7得十位数字与千位数字为2，9;1，8；0，7，分两类：
（1）十位数字与千位数字为2，9或1，8，有
$2A_2^{2} A_8^2$ 个；
（2）十位数字与千位数字为0,7，有 $A_8^2$ 个，
故满足条件的四位数的个数是
$N=2A_2^{2} A_8^2+A_8^2=280$ .

2.某天上午安排A.B，C，D，E五门课各一节，要求A课程不排第1节，B课程不排第5节，则不同的排法种数为.

尝试思考

【答案与提示】

提示：
（方法1）分4类：
（1）A.B都排在两端，有 $A_3^3$ 种；
（2）A在两端，B在中间，有 $A_3^1\cdot A_3^3$ 种；
（3）B在两端，A在中间，有 $A_3^1\cdot A_3^3$ 种；
（4）A，B都在中间，有 $A_3^2\cdot A_3^3$ 种，
故不同的排法种数为 $N=A_3^3+2A_3^1\cdot A_3^3 + A_3^2\cdot A_3^3 =78$ .