用特殊切割方法解决部分重积分问题

作者: 赫尔特 | 来源:发表于2019-07-07 19:54 被阅读5次

特殊切割方法就是用某条特殊的直线去切割平面图形，或者是某个特殊的平面去切割立体图形。比如：
（ps:排版有问题的话看原文：https://blog.csdn.net/qq_43212582/article/details/95012468）

求 $(x-2)^2+y^2=1$ 绕y轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

这道题可以用底面半径从1到3的圆柱面去切割，得到无数个内部是空心的圆筒，然后对x从1到3积分得出答案

也可以用普通的切片法，水平切割得到无数个小圆环片，对z轴从-1到1积分。

还可以这样做：
用无数个圆面纵向去切割下面的图形，得到无数个近似为小圆柱体的立体，这些圆柱的底面积是圆的面积： $π$ ，题目中圆心为(2,0),圆心的轨迹:
$C:\left\{ \begin{aligned} x ^2+y^2& = & 4 \\ z & = & 0 \end{aligned} \right.$
以圆心轨迹的微元作为小圆柱体的高，对轨迹积分即对曲线积分，得
$\oint$ _C $π$ dS = $4π^2$ .

2.

这道题可以用二重积分换元法做（令u=3x+4y）,这里跳过

令u= $3x\over5$ + $4y\over5$ ，视u为常数，因为原点到直线u= $3x\over5$ + $4y\over5$ 的距离恰好就是|u|,所以可以这样对积分区域进行切割：

把直线u=+ 看成新的坐标轴，并对它进行积分，其中面积元素（切割的小矩形的面积）,故：
积分

计算 $\iiint{_Ω}{{dxdydz}\over(1+x+y+z)^2}$ ,其中Ω由三个坐标面与平面x+y+z=1围成。

类似2.的做法，令u= ${x+y+z}\over\sqrt{3}$ ,记平面P: $x+y+z=\sqrt3u$ ,然后用这个平面去切Ω，因为原点到平面的距离恰好为|u|,所以以直线 $x+y+z=\sqrt3u$ 作为新的轴，体积元素为： ${\sqrt3}\over4$ $(\sqrt6u)^2du$ （等边三角形面积）对u从0到 $1\over{\sqrt3}$ 积分：
于是有 $\iiint{_Ω}{{dxdydz}\over(1+x+y+z)^2}=\int{_0^{1\over{\sqrt3}}}$ $1\over{(1+\sqrt3u)^2}$${\sqrt3}\over4$ $(\sqrt6u)^2du$ ,令 $\sqrt3u=t$ 可得最后结果为 $1\over2$ $({3\over2}-2ln2).$