三角形内部线性插值方法

问题：

在三角形的三个顶点具有3个不同颜色，如何通过插值计算出三角形中每个点的颜色？

应用实例：高洛德着色使用3个顶点的颜色进行线性插值，结果如下图：

image

解决方案：

显然，无论是线性插值还是双线性插值的都无法解决这个问题。而使用重心坐标则可以很好的解决这个问题。简单的来说，重心坐标就是子三角形与大三角形的面积比，具体的解释参看维基百科，计算过程如下：

已知三角形的三个顶点坐标P1, P2, P3, 在三角形内的任意点P, 都存在u和v（由于三角形是一个2D图形，只有两个自由度，所以只要u和v即可）,使得

P = (1 - u - v) * P1 + u * P2 + v * P3

P点在三角形内，所以(u, v)必须满足条件u ≥ 0, v ≥ 0, u + v ≤ 1。u、v体现了每个顶点对特定区域的权重贡献，(1 - u - v)则是第三个权重，只要计算出u和v，就可以计算出每个顶点对P点的贡献。现在已知P1, P2, P3和P的坐标值，求解u和v，只需要解二元一次方程即可：

P.x = (1 - u - v) * P1.x + u * P2.x + v * P3.x

P.y = (1 - u - v) * P1.y + u * P2.y + v * P3.y

有了u、v值，对P1, P2, P3的颜色值进行加权平均，即可得到P点颜色值。