6.5 一个总体参数的假设检验

常见的假设检验的总体参数主要有一个总体的总体均值、总体比例、总体方差，两个总体的均值之差、比例之差、方差之比等。本篇主要介绍前三个。

1. 总体均值的假设检验

1.1. 用样本均值对总体均值进行检验或估计

根据样本是大样本还是小样本、总体的方差是否已知，样本均值服从不同的分布，这在前文中已提及很多次。现概述成表格：

1.2. 统计量的标准化

①方差已知时：

②方差未知且大样本时：

③ 方差未知且小样本时：

1.3. 统计量的求值与检验

将原假设中的总体均值代入到μ0，计算出z

① 直接根据z检验：根据事先指定的显著性水平α、检验的方向（双侧检验、左侧检验或右侧检验）、标准化统计量的分布，划定拒绝域与非拒绝域；检查z值，若落入拒绝域，则拒绝原假设，若落入非拒绝域，则不拒绝原假设。此时检验犯第I类错误的概率为事先指定的显著性水平α。

②使用z推算出观测到的显著性水平：使用z值作为临界值，根据检验的方向及标准统计量的分布，划分拒绝域与非拒绝域，并计算相应的显著性水平P（即拒绝域的面积）；若P小于给定的α，则拒绝原假设，若P大于给定的α，则不拒绝原假设。此时检验犯第I类错误的概率为P。

2. 总体比例的假设检验

2.1使用样本比例p对总体比例进行检验或估计 

在总体均值的假设检验中，我们区分了样本是大样本还是小样本、总体的方差是否已知等不同情况。但在总体比例的检验中，只有一种情况。

首先，样本大小上只考虑大样本。直观来看，比例这种量只要在总数足够多时才会有意义。举例说我们随机找10个人，看他们的民族属性来评估中国汉族大概占了多大比例，这显然是极不靠谱的。“大样本”的一种判断方式为np>=10且n(1-p)>=10，也就是考察的目标元素个数不能少于10个，其余的也不能少于10个。

其次，样本比例的抽样分布为：p ~  或写为 ~。其中π是待估计或待检验的总体比例，肯定是未知的，不然还估计个屁。所以上述分布只能进一步近似为 ~ 。

综上两点，样本比例p只有这么一种分布。

2.2 统计量的标准化并代入待检验的π0

即：

上述量服从标准正态分布，再根据事先设定的α值，使用划定拒绝域或求观察到的显著性水平等方式，最终决定是拒绝原假设还是不拒绝原假设，具体操作跟1.3是一毛一样的。

3. 总体方差的检验

3.1 使用样本方差对总体方差进行估计和检验

样本方差的分布见4.7，总之标准化后服从自由度为n-1的卡方分布。另外，方差检验只针对服从正态分布的总体。

3.2 统计量的标准化

即： ~ 

3.3 代入原假设的方差值

求出具体的标准化统计量值，即，也就是用σ0替换σ。

3.4 做出决策

还是上面那套，根据事先设定的α、标准的n-1自由度卡方分布、检验的方向三个因素，划定拒绝域与非拒绝域，进而决定拒绝或不拒绝原假设。

或 以标准化的统计量值为临界值，根据检验的方向等求出观察到的显著性水平，再与事先设定的α比较以做出决策。

套路都一样啊~~~