线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-01 20:51 被阅读0次

小结

线性变换的矩阵
$\mathbb{R}^{2}$ 中的集合线性变换
满射与单射

线性变换的矩阵

$\boldsymbol{I_2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ 的两列是 $\boldsymbol{e_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\boldsymbol{e_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}$ ，设 $\boldsymbol{T}$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 到 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换，满足 $\boldsymbol{T(e_1)}=\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix}，\boldsymbol{T(e_2)}=\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}$ 。求出 $\mathbb{R}^{2}$ 中任意向量 $\boldsymbol{x}$ 的像的公式。
解：
$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}=x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2}$
因为 $\boldsymbol{T}$ 是线性变换，所以：
$\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{T(x)} &= \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2)} \\ &= x_1\boldsymbol{T(e_1)} + x_2\boldsymbol{T(e_2)} \\ &= x_1\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & -3\\ -7 & 8 \\ 2 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x} \end{aligned}\end{equation}$

定理设 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，使得对 $\mathbb{R}^{n}$ 中一切 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{Ax}$ 。事实上， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的第 $j$ 列是向量 $\boldsymbol{T(e_j)}$ ，其中 $\boldsymbol{e_j}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中单位矩阵 $\boldsymbol{I_n}$ 的第 $j$ 列： $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_n)}\end{bmatrix}$
证：
记 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{I_nx}=\begin{bmatrix}e_1 & \cdots & e_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1e_1 & \cdots & x_ne_n\end{bmatrix}$
由于 $\boldsymbol{T}$ 是线性变换，所以：
$\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{T(x)} &= \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + \cdots + x_n\boldsymbol{e_n)} \\ &= x_1\boldsymbol{T(e_1)} + \cdots + x_n\boldsymbol{T(e_n)} \\ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ax} \end{aligned}\end{equation}$
其中矩阵 $\boldsymbol{A}$ 称为线性变换的标准矩阵。

由 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的每个线性变换都可看作是矩阵变换，反之亦然。术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

$\mathbb{R}^{2}$ 中的几何线性变换

设 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ 为把 $\mathbb{R}^{2}$ 中每一个点绕原点逆时针正角度 $\varphi$ 的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。

旋转变换.png

解： $\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 旋转成为 $\begin{bmatrix}cos\varphi \\ sin\varphi\end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ 旋转成为 $\begin{bmatrix}-sin\varphi \\ cos\varphi\end{bmatrix}$ 。
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \boldsymbol{T(e_1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi\end{bmatrix}$

对称变换

变换	标准矩阵
关于 $x_1$ 轴的对称	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$
关于 $x_2$ 轴的对称	$\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
关于 $x_2=x_1$ 的对称	$\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$
关于 $x_2=-x_1$ 的对称	$\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$
关于原点的对称	$\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

收缩与拉伸

变换	标准矩阵
水平收缩与拉伸	$\begin{bmatrix}k & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
垂直收缩与拉伸	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & k\end{bmatrix}$

剪切变换

变换	标准矩阵
水平剪切	$\begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}$
垂直剪切	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$

投影

变换	标准矩阵
投影到 $x_1$ 轴上	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
投影到 $x_2$ 轴上	$\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

满射与单射

映射 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 称为到 $\mathbb{R}^{m}$ 上的映射，若 $\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中至少一个 $\boldsymbol{x}$ 的像。（也称为满射）
等价地，当 $\boldsymbol{T}$ 的值域是整个余定义域 $\mathbb{R}^{m}$ 时， $\boldsymbol{T}$ 是到 $\mathbb{R}^{m}$ 上的映射。也就是说，若对 $\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}$ 至少有一个解。

映射 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 称为到 $\mathbb{R}^{m}$ 上的一对一映射，若 $\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中至多一个 $\boldsymbol{x}$ 的像。（也称为单射）
等价地， $\boldsymbol{T}$ 是到 $\mathbb{R}^{m}$ 上的一对一映射，若对 $\mathbb{R}^{m}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}$ 有唯一的解或没有解。
上面的表格中，投影不是一对一映射，也不能将 $\mathbb{R}^{2}$ 映上到 $\mathbb{R}^{2}$ ；其他（对称变换、收缩与拉伸、剪切变换）都是一对一映射，也能将 $\mathbb{R}^{2}$ 映上到 $\mathbb{R}^{2}$ 。

设 $\boldsymbol{T}$ 是线性变换，它的标准矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$ 。 $\boldsymbol{T}$ 会否把 $\mathbb{R}^{4}$ 映上到 $\mathbb{R}^{3}$ ？ $\boldsymbol{T}$ 是否是一对一映射？
解：因为 $\boldsymbol{A}$ 已经是阶梯形矩阵，可立即看出， $\boldsymbol{A}$ 在每一行有主元位置，对 $\mathbb{R}^{3}$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ ，方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 相容。也就是说，线性变换 $\boldsymbol{T}$ 能将 $\mathbb{R}^{4}$ 映射到 $\mathbb{R}^{3}$ 上。然而因为方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有一个自由变量，每个 $\boldsymbol{b}$ 都有多个 $\boldsymbol{x}$ 的像。所以 $\boldsymbol{T}$ 不是一对一映射。

设 $\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 是线性变换， $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{T}$ 的标准矩阵，则

$\boldsymbol{T}$ 把 $\mathbb{R}^{n}$ 映上到 $\mathbb{R}^{m}$ 当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的列生成 $\mathbb{R}^{m}$ 。
$\boldsymbol{T}$ 是一对一的，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的列线性无关。

线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

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