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线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-01 20:51 被阅读0次

小结

  1. 线性变换的矩阵
  2. \mathbb{R}^{2}中的集合线性变换
  3. 满射与单射

线性变换的矩阵

\boldsymbol{I_2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}的两列是\boldsymbol{e_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}和\boldsymbol{e_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}，设\boldsymbol{T}是\mathbb{R}^{2}到\mathbb{R}^{3}的线性变换，满足\boldsymbol{T(e_1)}=\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix}，\boldsymbol{T(e_2)}=\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}。求出\mathbb{R}^{2}中任意向量\boldsymbol{x}的像的公式。
解：
\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}=x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2}
因为\boldsymbol{T}是线性变换，所以：
\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{T(x)} &= \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2)} \\ &= x_1\boldsymbol{T(e_1)} + x_2\boldsymbol{T(e_2)} \\ &= x_1\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & -3\\ -7 & 8 \\ 2 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x} \end{aligned}\end{equation}

定理 设\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}为线性变换，则存在唯一的矩阵\boldsymbol{A}，使得对\mathbb{R}^{n}中一切\boldsymbol{x}，\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{Ax}。事实上，\boldsymbol{A}是m \times n矩阵，它的第j列是向量\boldsymbol{T(e_j)}，其中\boldsymbol{e_j}是\mathbb{R}^{n}中单位矩阵\boldsymbol{I_n}的第j列：\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_n)}\end{bmatrix}
证：
记\boldsymbol{x}=\boldsymbol{I_nx}=\begin{bmatrix}e_1 & \cdots & e_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1e_1 & \cdots & x_ne_n\end{bmatrix}
由于\boldsymbol{T}是线性变换，所以：
\begin{equation}\begin{aligned} \boldsymbol{T(x)} &= \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + \cdots + x_n\boldsymbol{e_n)} \\ &= x_1\boldsymbol{T(e_1)} + \cdots + x_n\boldsymbol{T(e_n)} \\ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ax} \end{aligned}\end{equation}
其中矩阵\boldsymbol{A}称为线性变换的标准矩阵。

由\mathbb{R}^{n}到\mathbb{R}^{m}的每个线性变换都可看作是矩阵变换，反之亦然。术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

\mathbb{R}^{2}中的几何线性变换

设\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}为把\mathbb{R}^{2}中每一个点绕原点逆时针正角度\varphi的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。

旋转变换.png

解：\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}旋转成为\begin{bmatrix}cos\varphi \\ sin\varphi\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}旋转成为\begin{bmatrix}-sin\varphi \\ cos\varphi\end{bmatrix}。
\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \boldsymbol{T(e_1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi\end{bmatrix}

对称变换

变换 标准矩阵
关于x_1轴的对称 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}
关于x_2轴的对称 \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
关于x_2=x_1的对称 \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}
关于x_2=-x_1的对称 \begin{bmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}
关于原点的对称 \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

收缩与拉伸

变换 标准矩阵
水平收缩与拉伸 \begin{bmatrix}k & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
垂直收缩与拉伸 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & k\end{bmatrix}

剪切变换

变换 标准矩阵
水平剪切 \begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}
垂直剪切 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}

投影

变换 标准矩阵
投影到x_1轴上 \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
投影到x_2轴上 \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

满射与单射

映射\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}称为到\mathbb{R}^{m}上的映射，若\mathbb{R}^{m}中每个\boldsymbol{b}是\mathbb{R}^{n}中至少一个\boldsymbol{x}的像。（也称为满射）
等价地，当\boldsymbol{T}的值域是整个余定义域\mathbb{R}^{m}时，\boldsymbol{T}是到\mathbb{R}^{m}上的映射。也就是说，若对\mathbb{R}^{m}中每个\boldsymbol{b}，方程\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}至少有一个解。

映射\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}称为到\mathbb{R}^{m}上的一对一映射，若\mathbb{R}^{m}中每个\boldsymbol{b}是\mathbb{R}^{n}中至多一个\boldsymbol{x}的像。（也称为单射）
等价地，\boldsymbol{T}是到\mathbb{R}^{m}上的一对一映射，若对\mathbb{R}^{m}中每个\boldsymbol{b}，方程\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}有唯一的解或没有解。
上面的表格中，投影不是一对一映射，也不能将\mathbb{R}^{2}映上到\mathbb{R}^{2}；其他（对称变换、收缩与拉伸、剪切变换）都是一对一映射，也能将\mathbb{R}^{2}映上到\mathbb{R}^{2}。

设\boldsymbol{T}是线性变换，它的标准矩阵为\begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}。\boldsymbol{T}会否把\mathbb{R}^{4}映上到\mathbb{R}^{3}？\boldsymbol{T}是否是一对一映射？
解：因为\boldsymbol{A}已经是阶梯形矩阵，可立即看出，\boldsymbol{A}在每一行有主元位置，对\mathbb{R}^{3}中每个\boldsymbol{b}，方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}相容。也就是说，线性变换\boldsymbol{T}能将\mathbb{R}^{4}映射到\mathbb{R}^{3}上。然而因为方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}有一个自由变量，每个\boldsymbol{b}都有多个\boldsymbol{x}的像。所以\boldsymbol{T}不是一对一映射。

设\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}是线性变换，\boldsymbol{A}为\boldsymbol{T}的标准矩阵，则

  1. \boldsymbol{T}把\mathbb{R}^{n}映上到\mathbb{R}^{m}当且仅当\boldsymbol{A}的列生成\mathbb{R}^{m}。
  2. \boldsymbol{T}是一对一的，当且仅当\boldsymbol{A}的列线性无关。

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