20190425 笔记

乔治·伽莫夫《从一到无穷大》

第二章《自然数和人工数》

迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”（这里指整数），数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。

不可思议的是，作为数学中最纯粹的一部分，数论从某个方面来说却可以被称为一门经验科学甚至是一门实验科学。事实上，数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果。而且也像物理学一样，数论中的一些定理已经“从数学的角度”得到了证实，还有一些却仍停留在纯经验阶段，挑战着最优秀的数学家的大脑。

欧几里得证明了质数的数量是无穷的，因此并不存在所谓的“最大质数”。（反证法）

未解之谜：找到一个能只推算出质数的通用公式。

“哥德巴赫猜想”，一个至今既没有被证实也没有被推翻有趣的理论——“任何一个偶数都可以表示成两个质数之和。”

质数平均分布的规律：“从1到任何大于1的数字n之间质数所占的比例约等于n的自然对数”，并且n越大，这两个值越接近。

费马大定理：虽然等式x²+y²=z²有无数个整数解，但与其形似的等式x^n+y^n=z^n，当n大于2时，则是永远无解的。

“我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。”(对这个背景故事蛮印象深刻的，高中时期的数学是学习定理的同时听各种数学家的故事)

但是数学家们都很执着，如果一个看起来毫无意义的东西不停地在他们的公式中出现，他们就会竭尽所能赋予其某些含义。负数的平方根就不停地出现在各个地方，不论是过去的数学家所面对的简单算术问题还是20世纪相对论框架下的时空统一问题都可见其身影。

虚数像分数和根数一样成了数学中不可避免的一部分。虚数是普通数或实数的虚构镜像，而且，就像我们可以由基数1得到所有的实数一样，我们也可以由基本虚数单位得出所有的虚数，通常用符号i来表示。