美文网首页
2019-01-23[Stay Sharp]The beta d

2019-01-23[Stay Sharp]The beta d

作者: 三千雨点 | 来源:发表于2019-01-23 21:56 被阅读4次

The beta distribution is distribution of probabilities.

\operatorname { Beta } ( \mu | a , b ) = \frac { \Gamma ( a + b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } \mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 }
where the \Gamma is the gamma function：\Gamma ( n ) = ( n - 1 ) !

It's normalized

verification:
to verify it's normalized, i.e.

\int _ { 0 } ^ { 1 } Beta(\mu|a, b) d\mu = 1
so,
\int _ { 0 } ^ { 1 } \mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 } \mathrm { d } \mu = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
that's what we want to derive.

\begin{aligned} \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) & = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ {- x } x ^ { a - 1 } d x \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ {- y } y ^ { b - 1 } d y \\ & = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^{ - x } x ^ { a - 1 } e^ { - y } y ^ { b - 1 } d x d y \\ & = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } x ^ { a - 1 } ( t - x ) ^ { b - 1 } d t d x \\ &\\ & \stackrel{t=x + y}{=} \int _ { 0 } ^ { \infty } e^ {- t } \left( \int _ { 0 } ^ { t } x ^ { a - 1 } ( t - x ) ^ { b - 1 } \mathrm { d } x \right) \mathrm { d } t \\ & \stackrel{x=\mu t}{=} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\left( \int_{0} ^{t} {(\mu t)}^{a-1}{(t - \mu t)}^{b-1} \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t \\&= \int_{0}^{\infty} e^{-t}\left( {( t)}^{a + b -1} \int_{0} ^{t} {(\mu)}^{a-1}{(1 - \mu)}^{b-1} \mathrm{d}\mu\right) \mathrm{d}t \\&=\int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { a + b - 1 } \mathrm { e } ^ { - t } \mathrm { d } t \cdot \int _ { 0 } ^ { 1 } \mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 } \mathrm { d } \mu \\&= \Gamma(a+b) \int _ { 0 } ^ { 1 } \mu ^ { a - 1 } ( 1 - \mu ) ^ { b - 1 } \mathrm { d } \mu \end{aligned}
so, the beta distribution is normalized.

Ref

https://stats.stackexchange.com/questions/47771/what-is-the-intuition-behind-beta-distribution

http://rads.stackoverflow.com/amzn/click/0387310738

相关文章

网友评论

      本文标题：2019-01-23[Stay Sharp]The beta d

      本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/zuxejqtx.html

      延伸阅读

      深度阅读

      • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

      栏目导航

      热点阅读

      关于我们|服务条款|联系我们|2019-01-23[Stay Sharp]The beta d|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

      提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

      Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

      备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

      本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

      所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！