正弦的理解

作者: 潘旭 | 来源:发表于2020-03-15 14:46 被阅读0次

正弦是什么

$y=Asin(\omega x + \varphi)$

正弦波图像

之前一想到正弦，脑袋里就是这个表达式和这幅图像，可是正弦究竟是什么却从来没有思考过。带着这个问题，先看看弹簧运动。

弹簧运动

弹簧运动是典型的正弦式运动。从这个图里可以清楚看到，实际上是弹簧在垂直方向上不断的运动。现在将弹簧运动的距离中心的距离 $y$ , 用弹簧运动的时间 $t$ 来表示, 那就是 $y=sin(t)$ , 同样也可以理解到 $y$ 就是与中心距离的变化，最大值就是振幅。这就是正弦表达式的实际物理意义。而我们原先在高中学习的正弦，直接在直角坐标系中展示也就是上面的正弦波图像那样，所以自然就理解成了一个二维的运动，实际上是弹簧的一维运动，将时间 $t$ 再单独拉出来成为一个维度就是课本上描述的正弦了。

所以，从这个角度来看，再看看实际的例子，比如: 将一个电子进行来回的震荡，就产生了正弦波。再比如，弹吉他，吉他弦进行上下震动，吉他弦与中心的距离就是 $y$ , 代表了声音的强度，吉他弦上线震动的速度就是频率(所以当将吉他的弦调紧，就会让吉他弦快速回到中心位置，频率也就高了)，这就产生了一个正弦波。所以调音器是如何进行调音的？就是检测到了这个正弦波，然后，计算出频率，与实际的频率进行比对。同时也说明，我们大力弹吉他是增加了振幅，增大了吉他的声音。

正弦和圆

上学的时候，讲到正弦的时候，会说到 "对边比临边"，如果在一个单位圆内，那就是 "对边"，因为半径是1。对于圆上的一点就可以表示成:

$\left\{\begin{matrix}x=cos(\theta \\ y=sin(\theta) \end{matrix}\right.$

神奇的事情发生了，我们将 $\theta$ 看做一个变量，也就是圆周上转过的弧度，就会发现圆上的点，其实是由一个正弦波和一个余弦波组合而成，任何一个圆上的点都可以由正弦和余弦组合成，圆居然是可以分解成正弦和余弦。看下面的示意图。

sin_cos_circle.gif

再来看看为什么正弦的周期是 $2\pi$ 的问题。从上面的圆和正弦的关系可以看到， $\theta$ 经过一个圆周也就是 360度,即 $2\pi$ 为一个周期，所以正弦和余弦都是 $2\pi$ 为一个周期，半个周期就是 $\pi$ 。从这里再回头看弹簧的半个周期运动，弹簧从 0 出发，运动到最大振幅 1, 在回到 0，这个时间是 $\pi$ 。是不是很神奇，为什么不是一个整数，而是一个无理数。这就好比变长为1的正方形的对角线是 $\sqrt{2}$ 一样，让人无法接受，可事实就是这样的。

说到 $\sqrt{2}$ 让我想起了一个故事，当年毕达哥拉斯发现了勾股定理后，他也发现变长为1的正方形的对角线是 $\sqrt{2}$ 这个无法理解的事情。于是，毕达哥拉斯封闭了这个信息。可是他的一个学生也发现了这个“秘密”，并汇报给了毕达哥拉斯，然后，这个学生就被迫害而死:(.

从物理的角度来看正弦

从物理的角度看正弦的运动，从0处开始，这时候相当于有一个较大的初始速度 $v_{0}$ , 然后，受到一个反向加速度，也可以理解成一个反向的力的作用（因为加速度是由力产生的），逐渐减速运动到最大振幅处，此时的速度是 0, 然后，又加速向中心点（也就是 0处）运动，受到一个正向的加速度，也就是一个正向的力作用，在中心点达到速度最大值。所以，我们可以这样来描述:

$y=sin(t)$

$\left\{\begin{matrix} v = \frac{dy}{dt} = cos(t) \\ a = \frac{d^2y}{dt} = -sin(t) \end{matrix}\right.$

从物理的角度来看，就是这样的，在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上, 速度 $v$ 逐渐从最大值 $1$ 变到最小值 $0$ , 而加速度始终与速度方向相反，大小从 $0$ 逐渐增到到 $-1$ . 然后再 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ 上, v 方向，从 0 逐渐增加大 1, 而这时候加速度与速度方向是一样的，从 1 减小到 0，达到中心点位置的时候，速度达到最大。