1978年普通高等学校招生全国统一考试（数学试题）

作者: 拉格朗日和洛必达的猫 | 来源:发表于2019-03-13 19:10 被阅读0次

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1978年普通高等学校招生全国统一考试（数学试题）

一、（下列各题每题4分，五个题共20分）
1.分解因式 $x^{2}-4 x y+4 y^{2}-4 z^{2}$ 。

2.已知正方形的边长为 $a,$ 求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。

3.求函数 $y=\sqrt{\lg (2+x)}$ 的定义域。

4.不查表，求 $\cos 80^{\circ} \cos 35^{\circ}+\cos 10^{\circ} \cos 55^{\circ}$ 的值。

5.化简： $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \frac{\left(\sqrt{4 a b^{-1}}\right)^{3}}{(0.1)^{-2}\left(a^{3} b^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}}$

二、（本题满分14分）
已知方程 $k x^{2}+y^{2}=4，$ 其中 $k$ 为实数。
对于不同范围的 $k$ 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图。

三、（本题满分14分）
如图， $AB$ 是半圆的直径， $C$ 是半圆上一点，直线 $MN$ 切半圆于 $C$ 点， $AM⊥MN$ 于 $M$ 点， $BN⊥MN$ 于 $N$ 点， $CD⊥AB$ 于 $D$ 点.
求证:
$（1）CD=CM=CN；$
$（2）CD^2=AM·BN.$

四、（本题满分12分）
已知 $\log _{18} 9=a(a \neq 2), 18^{b}=5，$
求 $\log _{36} 45.$

五、（本题满分20分.本题和第六题选做一题）
已知 $△ABC$ 三内角的大小成等差数列 $， tanAtanC=2+\sqrt{3}，$ 求角 $A，B，C$ 的大小；
又知顶点 $C$ 的对边 $c$ 上的高等于 $4\sqrt{3}，$ 求三角形各边 $a，b，c$ 的长.
（提示:必要时可验证 $（1+\sqrt{3}）=4+2\sqrt{3}$ ）

六、（本题满分20分）
已知 $: \alpha, \beta$ 为锐角，且 $3 \sin ^{2} \alpha+2 \sin ^{2} \beta=1,3 \sin 2 \alpha-2 \sin 2 \beta=0，$
求证： $\alpha+2 \beta=\frac{\pi}{2}$

七、（本题满分20分）
已知函数 $y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$ （ $m$ 为实数），
（1） $m$ 是什么数值时， $y$ 的极值是0？
（2）求证:不论 $m$ 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线 $l_1$ 上.画出 $m=-1，0，1$ 时抛物线的草图，来检验这个结论.
（3）平行于 $l_1$ 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证:任一条平行于 $l_1$ 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.