仿射变换

仿射变换（affinement）是由一个线性变换和平移组成的，如图所示

图像里的仿射变换

1. SLAM中的仿射变换

在SLAM里，尤其是直接法SLAM，当想要使用块匹配（patch match）来求对应点的时候，由于两帧之间的视角已变，patch的形状和位置也发生了改变，不能单纯用一样的patch做匹配（如4x4的），需要有一帧里做仿射变换，把另一帧的正常patch变换到该帧，变换之后可能是平行四边形，菱形等（不包括梯形）。

实际上相机平面上的投影并不是仿射变换，因为相机不是平行投影，而是中心投影。如下图所示，当物体相对投影面倾斜的时候，中心投影会变成梯形（不是线性变换），而平行投影仍然是矩形（或平行四边形）。

中心投影和平行投影

然而当我们考虑像素块的patch的时候，几个到几十个像素的尺度太小了，近似为平行投影，所以用仿射变换是没问题的。况且严格使用SE3变换计算量较大，不适合用在需要快速匹配的像素块。

一般平移这一步在重投影的时候已经定位了，或者说当我们不知道块的具体位置，如进行极线搜索的时候，平移正是我们所求的。而往往线性变换已知，所以我们只要关注patch的线性变换。SLAM中也常用Affine来直接代替线性变换了，这点要注意。

2. 线性变换矩阵求解

二维线性变换的一些感性认识。

正如上面链接提到的，线性变换矩阵的求解只要求出源空间的基的变换即可，特别的，当源空间基为平行于图片像素的时候，直接拿变换后的基组成1、2列就可得到仿射变换矩阵。

二维线性变换矩阵的构成