近似推断|机器学习推导系列（二十七）

作者: 酷酷的群 | 来源:发表于2021-03-28 19:25 被阅读0次

一、推断的动机和困难

推断的动机

推断问题是在概率图模型中经常遇到的问题，也就是给定观测变量 $v$ 的情况下求解后验 $p(h|v)$ ，这里的 $h$ 是隐变量（注意原来我们常用 $z$ 和 $x$ 来表示隐变量和观测变量，不过在深度学习中我们更倾向于使用 $h$ 和 $v$ 来表示隐变量和观测变量）。

那么为什么推断问题是重要的呢？也就是说推断的动机是什么呢？推断的动机主要包括以下两个方面：
①推断本身是有意义的。推断问题事实上是一种对原因的追溯，在给定观测的情况下来求解它的原因，因此推断本身是有意义的。
②为参数的学习提供帮助。回想EM算法中，我们期待引入的分布 $q(z)$ 能近似后验分布 $p(z|x)$ ，然后才能利用求解参数 $\theta$ ，因此推断问题能够帮助求解参数。

推断的困难

不幸的是推断问题往往是困难的，在大多数情况下，精确推断往往计算复杂度过高以致于几乎不可能进行，因此我们很多时候需要采用一些近似推断的方法。

举例来说，像下图中的玻尔兹曼机，作为无向图模型其节点之间是相互联系和影响的，难以求解，也就是mutual interaction，而只有对模型进行一些限制，比如受限玻尔兹曼机，才可以有求解的方法，然而这样的限制必定会限制模型的能力。另外对于深度玻尔兹曼机，以下图中三层结构为例，在给定其中两层时另外一层才会条件独立，否则仍然会有复杂度过高的问题。而对于有向图模型，比如sigmoid信念网络，其中存在head-to-head结构，又会造成explain away问题，仅仅在一些特殊情况下可解比如线性高斯模型：

概率图模型

二、推断即优化

在前面的EM算法和变分推断的章节中我们已经感受过了，求解推断问题的过程是引入一个分布 $q(h|v)$ 并且将 $log$ 似然转化成 $ELBO$ 和KL散度的和，目标是让 $ELBO$ 尽可能地大，于是推断问题就成了一个优化问题。具体的，有数据 $v\in V$ ，对于 $log$ 似然：

$\mathrm{log\mbox{-}likelihood}:\sum _{v\in V}log\; p(v)$

对于 $log\; p(v)$ ，我们有：

$log\; p(v)=log\frac{p(v,h)}{p(h|v)}\\ =log\frac{p(v,h)}{q(h|v)}\frac{q(h|v)}{p(h|v)}\\ =log\frac{p(v,h)}{q(h|v)}+log\frac{q(h|v)}{p(h|v)}\\ =\int log\frac{p(v,h)}{q(h|v)}q(h|v)\mathrm{d}h+\int log\frac{q(h|v)}{p(h|v)}q(h|v)\mathrm{d}h\\ =E_{q(h|v)}\left [log\frac{p(v,h)}{q(h|v)}\right ]+KL(q(h|v)||p(h|v))\\ =E_{q(h|v)}\left [log\; p(v,h)-log\; q(h|v)\right ]+KL(q(h|v)||p(h|v))\\ =\underset{ELBO=L(v,h,q)}{\underbrace{E_{q(h|v)}\left [log\; p(v,h)\right ]+H[q]}}+\underset{KL(q||p)}{\underbrace{KL(q(h|v)||p(h|v))}}$

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