一个概念——绝对熵

熵本来是一个来源于热力学的概念，但是在一百多年的历史中，被引申到了信息科学里，进而渗透到了生活的方方面面。我们都知道，想要测量一个水杯里水的容积，仅仅知道水位的高度是不够的，还要知道水杯的底面积；同样想要知道自己家用了多少度电，仅仅知道220V电压是不够的，还要知道跑走了多少毫安时的电量。

换句话说，为了知道一个总数，仅仅知道强度（水位或者电压）是不够的，还要知道广度（杯子面积或者电量）。同样的道理，为了知道一块红热的铁块的热能，仅仅知道温度这个强度也是不够的，还要知道其热能的广度，这个热能的广度就叫做熵。

熵这个字是刘仙洲先生翻译的，意思就是热量除以温度的商。之所以这么计算，是因为热量和温度都比熵好测量。正如家里用了多少度电能可以直接查电表，电压也可以直接查电压表，我们反过来用它们相除计算电量，也就是干电池上面标注的毫安时。

这个和提纯知识有什么关系？知识是有秩序的，信息是混乱的，而熵恰好就是混乱程度的量度（垃圾铺满了房间显然比垃圾堆在桶里更加混乱）。将混乱的信息变为有序的知识，再把零散的知识豆腐脑变为稳定的知识晶体，就是一个不断降低熵的过程。

热力学第三定律是这么说的：一切绝对零度下的完美晶体的熵为零。什么叫完美晶体？就是理想中最有秩序也是最紧密的晶体。钻石是完美晶体吗？不是，但是它比石墨更接近完美晶体。感性告诉我们，金刚石比石墨更坚固，也更整齐——铅笔芯一磨就变成了混乱的满地碎屑，而金刚石可以经久保值。

数字就是特别典型的知识晶体，但是阿拉伯数字比罗马数字更接近完美晶体。

同样是个位数，阿拉伯数字只需要一个符号，而像3和4罗马数字需要两到三个符号；到了两位数，罗马数字就更加繁琐，因为符号越多越混乱，以至于中世纪只有大学教授才能掌握罗马数字的乘法运算。听起来十分不可思议，是吧？现在连小学生都会阿拉伯数字的乘法口诀，罗马数字已经被遗忘在了艺术作品里了。

但是热力学定律同时又告诉我们，绝对零度达不到，同样完美晶体也是达不到的。最完美的知识晶体有另外一个广为人知的名字——绝对真理。无数相对真理的总和逼近绝对真理，虽然追随绝对真理是和绝对零度一样无穷无尽的过程，但是人类难道不就是在这么一个学习过程中进化的吗？

完美的知识晶体可以以一当十，特别是在每个人的头脑容量有限的情况下。虽然日心说并不是绝对真理，但是无疑是比地心说更完美的知识晶体，现在的小学生接受起日心说都没有过多大障碍，而托勒密穷尽一生都在和地心说里面的"本轮""分轮""偏心等距点"等等打交道。正因为现代的学生头脑里不用再思考地心说的诸多瑕疵，才能有空间去思考相对论和量子力学。

国际象棋高手之所以能记住比常人多很多的棋局，是因为他们的记忆里这些棋局本身就是按照高度的秩序存放的。常人眼里，一盘棋有数十种变化，于是他们记一盘棋就会记住大量的变化；而大师眼里一盘棋只有1-2个最优解，所以他们的记忆里只留下最优解，臭棋都被筛选掉了。在对弈的时候，大师面对一个棋局只会从少数最优解出发，而常人要同时计算数十种走法，自然没有时间做深度计算了。

一个技术——如何提纯知识晶体？

1.输出给低水平学习者。费曼就是这方面的高手，能够将大学物理讲给中学生听，让他们听得懂。费曼在讲课之前的备课可能有10000字，但是在讲课过程中发现中学生只能理解1000字，于是这精炼过后的1000字返回到他的库存里，久而久之他头脑里关于物理的知识晶体就更加精炼和完美了——从万字到千字，绝对熵明显降低了一个数量级。

2.收敛关注范围，舍弃杂质。对于中文系教授而言，他不太可能关心学生的化学成绩，自然水的分子式h2o对于他来说就是知识中的杂质，反而会占用他关于语言文学的知识晶体的空位。在总量有限并且对外封闭的情况下，拓宽广度必然意味着强度的降低，并且这个熵增过程是自发的。无论是科举时代还是当代，不学习的人头脑并没有变得更加轻松，相反自发地就会被家长里短和八卦星闻填满。