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借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围

借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-02-22 17:11 被阅读0次
借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围

方法三 借助平面几何图形中的不等关系

解题步骤：

第 一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三 边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示，进而得到不等式，

第三步 解不等式，确定离心率的范围.

【例】已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)

B. \left(0,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]

C. \left[\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\right)

D. \left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]
【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.

如图，由于线段OM的垂直平分线经过F，则|MF|=|OF|=c，

利用平面几何折线段大于等于直线段（中心到准线之间的距离）

即OF+FM \geqslant中心O到准线的距离\dfrac{a^2}{c}

即2c \geqslant \dfrac{a^2}{c}，\therefore e \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}，

又因为椭圆的离心率小于1

所以选A.

【总结】离心率的范围实质 为一个不等式 关系，如何构建 这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.

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