建立直角坐标系法求最值或取值范围

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-09-24 08:33 被阅读0次

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平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

方法三建立直角坐标系法

使用情景：一般向量求最值或取值范围类型

解题步骤：

第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；

第二步将平面向量数量积的运算坐标化；

第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即

可.

例3 在 $\triangle ABC$ 中， $O$ 为中线上一个动点，若 $AM=2$ ，则 $\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 的最小值是__________.

【解析】以 $M$ 为原点， $AM$ 所在直线为 $y$ 轴，建立如图所示的直角坐标系.

设 $A(0,2)$ ， $B(x,y)$ ， $O(0,z)$ ，则 $C(-x,-y)$ ，

$\therefore \overrightarrow{OA}=(0,2-z)$ ， $\overrightarrow{OB}=(x,y-z)$ ， $\overrightarrow{OC}=(-x,-y-z)$

$\because ，\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(0,-2z)(0\leqslant z \leqslant 2)$

$\therefore \overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=(2-z)(-2z)=2(z-1)^2-2$

故 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 的最小值为 $-2$

【总结】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.

例4 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $BC=a$ ,若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点,问 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大?并求出这个最大值.

【答案】

以 $A$ 为原点， $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立如图所示的直角坐标系

设 $\angle CAB=\alpha$ ， $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为 $\beta$ ，则 $B(a\cos\alpha,0)$ ， $C(0,a \sin\alpha)$

$P(-a\cos \beta,-a \sin \beta)$ ， $Q(a\cos \beta,a \sin \beta)$

$\therefore \overrightarrow{BP}=(-a\cos \beta-a\cos \alpha,-a \sin \beta)$ ， $\overrightarrow{CQ}=(a\cos \beta,a \sin \beta -a \sin \alpha)$

$\therefore \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=-a^2 \cos^2 \beta -a^2 \cos \alpha \cos \beta -a^2 \sin ^2 \beta +a^2 \sin \alpha \sin \beta$

$=-a^2[1+\cos(\alpha+\beta)]$

$\therefore$ 当 $\cos(\alpha+\beta)=-1$ 即 $\alpha+\beta=\pi$ ( $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 同向)时， $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的最大值为 $0$ .

【总结】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.

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