借助函数的值域求解离心率的范围

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-02-23 07:54 被阅读0次

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借助函数的值域求解离心率的范围

方法五借助函数的值域求解范围

解题步骤：

第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

第二步通过确定函数的定义域；

第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

【例】.已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{m+2}-\dfrac{y^2}{n}=1$ 与双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$ 有相同的焦点，则椭圆 $C_1$ 的离心率 $e$ 的取值范围为（）
A． $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right)$

B． $\left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

C． $\left(0,1\right)$

D． $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$
【解析】

因为椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{m+2}+\dfrac{y^2}{n}=1$

所以 $a_1^2=m+1$ ， $b_1^2=-n$ ， $c_1^2=m+2+n$ ，

$e_1^2=\dfrac{m+2+n}{m+2}=1+\dfrac{n}{m+2}$

因为双曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$

所以 $a_2^2=m$ ， $b_1^2=-n$ ， $c_2^2=m-n$ ，

由条件有 $c_1=c_2$ ，即 $m+2+n=m-n$ ，则 $n=-1$

所以 $e_1^2=1-\dfrac{1}{m+2}$

由 $m>0$ ，有 $m+2>2$ ， $\dfrac{1}{m+2}<\dfrac{1}{2}$ ， $-\dfrac{1}{m+2}>-\dfrac{1}{2}$

所以 $1-\dfrac{1}{m+2}>\dfrac{1}{2}$ ，即 $e_1^2>\dfrac{1}{2}$

而 $0<e_1<1$

所以 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<e_1<1$

故选A.

【总结】本题根据题设"相同的焦点"建立等量关系，得到函数关系式 $e_1^2=1-\dfrac{1}{m+2}$ ，进而根据 $m$ 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.

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