chpt.1 模型系统的态（2）

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-18 07:07 被阅读0次

要描述一个 $N$ 微粒系统的统计特性，就要知道该系统每一个态 $s$ 所具有的能量 $\varepsilon_s(N)$ 。

我们先来看一个最简单能够准确计算出 $\varepsilon_s(N)$ 的模型系统——二进制模型系统(binary model systems)。

$\boldsymbol{\mathrm{I}}.$ 二进制模型系统的特点

（i）位于空间里，固定着 $N$ 个截然不同的、独立的“位置”，它们各自占据着空间中属于自己的一部分，相互之间没有重叠和干扰。

（ii）与每一个“位置”绑定在一起的是一个基本磁体。当然你也可以用硬币（“正”或“反”），二进制数（“0”或“1”），文字（“是”或“否”），颜色（“红”或“蓝”）甚至是停车位（“空”或“满”）——任何具有两个截然不同态的元素都可作为“位置”。

（iii）相应地，每一个磁体也只能有两个内禀方向：要么朝上，要么朝下。这两个方向所对应的磁矩则分别为 $m$ ， $-m$ ，即，当磁体朝上时，磁矩为 $m$ ；当磁体朝下时，磁矩为 $-m$ 。

（iv）我们通常会将“位置”标序（升序降序都行）。主要是为了避免不同的“位置”在空间中出现重叠。

（例）

（i） $\big\uparrow_{1}\big\uparrow_{2}\big\downarrow_{3}\big\downarrow_{4}\big\downarrow_{5}\big\uparrow_{6}\big\downarrow_{7}\big\uparrow_{8}\big\uparrow_{9}\big\uparrow_{10}$

如上图所示，在 $2$ 号“位置”的磁体具有的磁矩为 $m$ ；在 $5$ 号“位置”的磁体具有的磁矩为 $-m$ 。这是一个由 $10$ 个绑定在固定“位置”上的基本磁体组成的模型系统。右下角的角标与其所处的“位置”也是绑定的。因为每一个磁体都有两个可能的方向，所以如果有 $10$ 个“位置”，我们将会有 $2^{10}$ 种截然不同的放置方式。随机地放置 $10$ 个磁体，得到上面例子放置方式的概率则为 $1/2^{10}$ 。

这是一个拥有10个车位的停车场的态。黑色表示已被车占据，白色表示未被车占据。它的排布与上面例子中的排布相同。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I}}.$

现在考虑有 $N$ 个“位置”（ $N$ 个磁矩），所有可能的放置方式的个数则为：

$2 \times 2 \times 2 \times\;...\;2 = 2^N$

当每一个“位置”的磁矩都被清楚地掌握时，我们就知道了这个系统的态。所以系统拥有的总的态的个数为 $2^N$ 。

我们可以借助简单的数学运算法则来表示这 $2^N$ 个不同的态：

$\left(\big\uparrow_1 + \big\downarrow_1 \right)\left(\big\uparrow_2 + \big\downarrow_2 \right)\left(\big\uparrow_3 + \big\downarrow_3 \right)...\left(\big\uparrow_N + \big\downarrow_N \right)$

为什么？因为我们发现，当使用了乘法分配律将所有的括号展开后，我们得到了 $2^N$ 个截然不同的项。其中每一项都有 $N$ 个“位置”，而项与项之间皆由加号连接。加号在这里的表示的不再是一贯所理解的“加和”，而是逻辑中的“或”，所以在上述表达式中更多地作为一种陈列方式。分配律可以帮助我们获得所有可能的组合。

（例）

一个仅含两个磁体的系统（ $N = 2$ ），所有 $2^2$ 个不同的态可以被表示为：

$\left(\big\uparrow_1 + \big\downarrow_1 \right)\left(\big\uparrow_2 + \big\downarrow_2 \right) = \big\uparrow_1\big\uparrow_2 + \big\uparrow_1\big\downarrow_2 + \big\downarrow_1\big\uparrow_2 + \big\downarrow_1\big\downarrow_2$

$\bullet$ 等式左边的部分称为母函数(generating function)，通过它，我们可以得到系统所有可能的态。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I\!I}}.$

我们把系统中每一个磁体的合磁矩表示为 $M$ 。在极端情况下，若系统中所有磁体全部被极化（要么全部朝上，要么全部朝下），系统的合磁矩将为 $M = \pm Nm$ ，所以 $M \in [-Nm,Nm]$ 。

（例）

（i） $\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow...\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow$

这是一个所含有的 $N$ 个磁体全部被向上极化的系统，它的合磁矩 $M = Nm$ 。

（ii） $\big\uparrow\big\downarrow\big\downarrow\big\uparrow...\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow\big\uparrow$

这是一个拥有两个朝下磁体的系统，它的合磁矩 $M = (N - 4)m$ 。