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chpt.1 模型系统的态(5)

chpt.1 模型系统的态(5)

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-20 13:14 被阅读0次

\boldsymbol{\mathrm{I}}. 平均值

(i)

设想有一部电梯,装载人数N = 6

他们的年龄j分别为:

36,36,25,43,41,25j \in [25,43]

电梯运行到某楼层后,有人要下电梯。试问,这个人的年龄刚好为j的概率是多少?

不难得出,概率为:

P(j) = \frac{N(j)}{N} = \frac{N(j)}{\sum_j N(j)}

其中N(j)是一个函数,它表示年龄为j的人的出现次数。

(例)

这人年龄刚好是25岁的概率是:

P(25) = \frac{2}{2+2+1+1} = \frac{1}{3}

(ii)

这群人年龄的平均值很好计算。我们通常用\left<j\right>来表示:

\left<j\right> = \frac{\sum_j jN(j)}{\sum_j N(j)} = \frac{25\times 2 + 36\times 2+ 41\times 1 + 43\times 1}{2+ 2+ 1+ 1} \approx 34

或者写成

\begin{align*}\left &= \sum_j j\frac{N(j)}{\sum_j N(j)} = \sum_j jP(j)\\&= 25\times\frac{2}{6} + 36\times\frac{2}{6}+41\times\frac{1}{6}+43\times\frac{1}{6}\\&\approx 34\end{align*}

(iii)

对于函数f(s),它的概率分布是连续的。可以被表示成相似的形式:

\left<f(s)\right> = \sum_s f(s)P(s)

对于所谓的正态分布(normal distribution),又有

\sum_s P(s) = 1

根据chpt.1 模型系统的态(3)我们知道,二进制系统的重性函数也是一种概率分布,但它一般不是正态的:

\sum_s g(N,s) = 2^N

但如果系统中所有态都是等可能的,我们可以将二进制概率分布归一化:

P(N,s) = \frac{g(N,s)}{2^N}

这样一来

\sum_s P(N,s) = 1

不难证明:

\begin{align*}\sum_s P(N,s) = \sum_s \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}e^{-2s^2/N} \cong \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}\int_{s=-\infty}^{\infty}e^{-2s^2/N}ds = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 1\end{align*}

于是,对于二进制系统,函数f(s)的平均值为

\left<f\right> = \sum_s f(s)P(N,s)

(例)

如果f(s) = s^2,它的平均值:

\begin{align*}\left &= \left(\frac{2}{\pi N} \right)^{1/2}\int_{-\infty}^{\infty}s^2e^{-2s^2/N}ds\\&= \frac{N}{2}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{1/2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\\&= \frac{N}{4}\end{align*}

(iv)

根据上面的例子,

\left<s^2\right> = \frac{N}{4}

因为常数不影响平均值,我们可将N可以表示成:

4\left<s^2\right> = \left = N

还记得2s吗?它在之前的系统中是我们定义的自旋余量。可见,自旋余量的均方(mean square)就等于系统的“位置”数。

而自旋余量的均方根(root mean square)

\left<(2s)^2\right>^{1/2} = \sqrt{N}

(v)

自旋余量的分数涨落(functional fluctuation)被定义为它的均方根与“位置”数的比:

\mathscr{F} \equiv \frac{\left<(2s)^2\right>^{1/2}}{N} = \frac{1}{\sqrt{N}}

我们发现,当N的取值越大,自旋余量的分数涨落将会越小。换句话说,当N非常大时,一旦自旋余量确定,它将不倾向于改变,而是保持在某一个值,所以系统会进入一个更稳定的状态;同时分布函数也会在s = 0位置有一个非常非常尖的峰。


\boldsymbol{\mathrm{I\!I}}.二进制磁体系统的能量

\bullet当基本磁体被放置于外加磁场中时,模型系统不同态之间将具有不同的能量。

\bullet如果系统的能量已经确定,那么只有那些具有相同能量大小的态才可能会出现。

\bullet一个具有磁矩\mathbf{m}的磁体在外加磁场\mathbf{B}下拥有的能量为:U = -\mathbf{m}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}。这也是一个磁矩为\mathbf{m}的磁体在磁场\mathbf{B}中具有的势能。

\bullet如果系统含有N个磁体,每个都有两个方向,系统的总势能则可以被表示成如下加和的形式:

U = \sum_{i=1}^N U_i = -\mathbf{B} \boldsymbol{\cdot}\sum_{i=1}^N\mathbf{m}_i = -2smB = -MB

其中总磁矩大小M = 2sm,可见,该能量的能谱是离散的。

\bullet因为能量的大小完全取决于s,我们可以将能量表示成一个含有s的函数U(s)。即

U(s) = -2smB

\bullet将系统中一个上旋换成下旋,自旋余量会减少为2s -2。相应地,总磁矩会减少2m,所以总能量将增加2mB。如果将某能级与相邻能级的能量差表示为\Delta \varepsilon,则

\Delta \varepsilon = U(s) - U(s+1) = 2mB


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