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二.函数的图像（1）

二.函数的图像（1）

作者: 傻疯子 | 来源:发表于2022-01-11 23:07 被阅读0次

1.直角坐标系下

（一）基本初等函数与函数

基本初等函数有：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数、常数函数

（1）常数函数

y=A，A 是常数，是偶函数，平行于x轴，常用于判断交点数量，求概率

（2）幂函数

y=x^\mu \quad (\mu是常数)

在x>0时y=x与幂函数及y=lnx拥有相同的单调性，与y= \frac{1}{x}相反的单调性，因此可以利用这点来研究最值：
带根号的只研究内部的函数的即可，绝对值可以研究函数的平方，连乘可以取对数转换为加法研究，研究指数为负的幂函数可以通过研究指数为正的相反结论。

其中幂函数的积分中\int_0^1 (\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3}可以记忆

（3）指数函数

y=a^x(a>0,a\neq1)

常见指数函y=e^x极限不存在，因为正负无穷的极限的值不唯一

另可记忆\int_{-\infty}^0e^xdx=e^x|_{-\infty}^0 = e^0-0=1

（4）对数函数

y=log_ax(a>0,a\neq1)是y=a^x的反函数

可记忆\lim_{x \to 0^+}xlnx=0可将简单的x放入分母用洛必达可得，因为lnx趋于无穷的速度是极慢的，远远慢于x趋于0的速度，同时\lim_{x \to 0^+}x^alnx=0
另幂指数函数u^v=e^{vlnu}

（5）三角函数

正弦函数是y=sinx，余弦函数是y=cosx

其中|sinx|\leq|1|，|cosx|\leq|1|，在x=0的邻域内可进一步|sinx|<|x|

常用的积分可记忆：\int_0^\pi sinxdx=2,\int_\frac{\pi}{4}^\frac{3\pi}{4} sinxdx=\sqrt{2},\int_\frac{3\pi}{4}^\frac{5\pi}{4} |sinx|dx=2-\sqrt{2}

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