交叉熵的理论来源是信息论。本文从怎么衡量一个事件的信息量大小开始，逐步深入，引入交叉熵的由来，并附上计算公式。最后解释了为什么很多算法要用交叉熵作为目标函数(损失函数)
一、自信息(self-information)
对于事件x，它的自信息(self-information)定义为：
当log的底数为e，𝐼(𝑥)的单位是奈特(nats)。一奈特是以1/𝑒的概率观测到一个事件时获得的信息量。当log的底数为2，单位是比特(bit)或香农(shannons)。
二、香农熵(Shannon entroy)
自信息只能处理单个信息，而香农熵(Shannon entroy)可以用来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化，也就是指遵循这个分布的事件所产生的期望信息总量，计算公式为：
其中，H(x)也记作H(p)。
三、交叉熵(Cross Entroy)
现在有关于样本集的两个概率分布P和Q，P代表真实分布（计算时常用经验分布代替），Q为非真实分布，通常是对样本分布的人为估计。如果用真实分布P来衡量一个样本的香农熵，计算公式为：
如果用非真实分布Q来衡量一个样本的香农熵，计算公式为：
H(P,Q)即为交叉熵。
举个例子：
真实概率分布P为[0.5, 0.25, 0.25, 0]，
非真实分布Q为[0.25, 0.25, 0.25, 0.25]，
则H(P) = 0.5*log2 + 0.25*log4 + 0.25*log4 = 1.5
H(P, Q) = 0.5*log4 + 0.25*log4 + 0.25*log4 = 2
例子中可以发现，H(P,Q) > H(P)，那么对于不同取值，该不等式是不是一直成立呢？来看第四步
四、交叉熵应用
重点来了，
根据吉布斯不等式Gibbs’ inequality，
H(P, Q) >= H(P)
恒成立，当且仅当Q为真实分布时取等号。
通过最小化交叉熵，可以来找到逼近真实分布的Q。
因此，一些算法将交叉熵做为损失函数。例如，分类问题中，用交叉熵代价函数来替代方差代价函数，可以加快训练速度。
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