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圆的方程

圆的方程

作者: 阿咚老师 | 来源:发表于2018-09-09 15:21 被阅读0次

圆的方程

题型一:点与圆的位置关系

  1. 写出圆心为A\left(\text{2,} -3\right),半径长等于5的圆的方程,并判断点M_{1}\left(\text{5,} -7\right),M_{2}\left( -\sqrt{5} ,-1\right)是否在这个圆上.
     
     
     
     
     
     
  2. P\left( 5a+\text{1,} 12a\right)在圆( x-1)^{2} +y^{2} =1的内部,则a的取值范围为___________.
     
  3. 已知三点A\left(\text{3,} 2\right),B\left(\text{5,} -3\right) ,C\left( -\text{1,} 3\right),以点P\left(\text{2,} -1\right)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中有一个点在圆外,一个点在圆内,一个点在圆上,求这个圆的方程.
     
     
     
     
     
     

题型二:求圆的标准方程

  1. 已知\vartriangle ABC的顶点坐标分别是A\left(\text{5,} 1\right),B\left(\text{7,} -3\right),C\left(\text{2,} -8\right),求它的外接圆标准方程.
     
     
     
     
     
     
  2. 已知圆心为C的圆经过点A\left(\text{1,} 1\right)B\left(\text{2,} -2\right),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
     
     
     
     
     
     
  3. 经过原点,圆心在x轴的负半轴,半径为\displaystyle 2的圆的方程是___________.
     
  4. 已知\vartriangle AOB的顶点坐标分别是A\left(\text{4,} 0\right),B\left(\text{0,} 3\right),O\left(\text{0,} 0\right),则\vartriangle AOB外接圆的方程为___________.
     
  5. ( x-3)^{2} +( y+4)^{2} =1关于直线x+y=0的对称圆为___________.
     
  6. 求经过点A\left( -\text{1,} 4\right) ,B\left(\text{3,} 2\right)且圆心在y轴上的圆的方程.
     
     
     
     
     
     
  7. 求过点A\left(\text{2,} 3\right) ,B\left( -\text{2,} -5\right),且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的标准方程.
     
     
     
     
     
     

题型三:圆的一般方程

  1. 求下列各圆的圆心坐标和半径长
    (1)x^{2} +y^{2} -2x-5=0
     
    (2)x^{2} +y^{2} +2x-4y-4=0
     
    (3)x^{2} +y^{2} +2ax=0
     
    (4)x^{2} +y^{2} -2by-2b^{2} =0
     
  2. 方程x^{2} +y^{2} +4mx-2y+5m=0表示圆的条件是___________.
     
  3. 方程x^{2} +y^{2} +ax+2ay+2a^{2} +a-1=0表示圆,则a的取值范围是___________.
     
  4. 已知方程x^{2} +y^{2} +4kx-2y+5k=0,当k\in___________时,它表示圆;当k\in___________时,它表示点;当k\in___________时,它的轨迹不存在.
     
  5. \vartriangle ABC的三个顶点坐标分别是A\left(\text{5,} 1\right),B\left(\text{7,} -3\right),C\left(\text{2,} -8\right),求它的外接圆的方程.
     
     
     
     
     
     
  6. 求经过A\left(\text{4,} 2\right),B\left( -\text{1,} 3\right)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
     
     
     
     
     
     
  7. 已知一圆过P\left(\text{4,} -2\right) ,Q\left( -\text{1,} 3\right)两点,且在y轴上截得的线段长为4\sqrt{3},求圆的方程.
     
     
     
     
     
     
  8. A是圆x^{2} +y^{2} -2ax+4y-b=0上任一点,A关于直线x+2y+1=0的对称点也在圆上,求a的值.
     
     
     
     
     
     

直线与圆的位置关系

题型一:直线(点)与圆位置关系的判断

  1. 求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x^{2} +y^{2} -6x+5=0分别满足:
    (1)相交
    (2)相切
    (3)相离
     
     
     
     
     
     
  2. P(\frac{2t}{1+t^{2}} ,\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} )x^{2} +y^{2} =1的位置关系___________.
     
  3. 过定点( 1,2)存在两条直线与圆x^{2} +y^{2} +kx+2y+k^{2} -15=0相切,则k的取值范围是___________.
     
  4. 直线l:( k+1) x-ky-1=0( k\in R)与圆C:x^{2} +( y-1)^{2} =1的位置关系是___________.
     
  5. 直线( x+1) a+b( y+1) =0与圆x^{2} +y^{2} =2的位置关系是___________.

题型二:圆的切线问题

  1. 求以C( 1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
     
     
     
     
     
     
  2. 求经过点( 1,-7)与圆x^{2} +y^{2} =25相切的切线方程.
     
     
     
     
     
     
  3. 求与圆x^{2} +y^{2} +8x+6y=0相切且在两坐标轴上的截距相等的切线的方程.
     
     
     
     
     
     
  4. 经过点M( 2,1)作圆x^{2} +y^{2} =5的切线,则切线方程为___________.
     
  5. 已知圆C:x^{2} +y^{2} -2x+4y=0则过原点且与圆C相切的直线l的方程___________.
     
  6. 由点P( 1,3)引圆x^{2} +y^{2} =9的切线的长是___________.
     
  7. 斜率为3,且与圆x^{2} +y^{2} =10相切的直线的方程是___________.
     
  8. 已知圆C:(x-1)^{2} +(y-2)^{2} =2,P( 2,-1),过点P作圆C的切线,切点为A,B.
    (1)求直线PA,PB的方程;
    (2)求直线PA的长;
    (3)求过两点A,B的直线方程;
    (4)求弦长|AB|.
     
     
     
     
     
     

题型三:直线和圆相交问题

  1. 求经过点P( 6,-4),且被圆x^{2} +y^{2} =20截得的弦长为6\sqrt{2}的直线方程.
     
     
     
     
     
     
  2. 已知P( 2,1)为圆x^{2} +y^{2} =20内一点,求以P( 2,1)为中点的圆的弦所在直线方程.
     
     
     
     
     
     
  3. 直线x-y+4=0被圆x^{2} +y^{2} +4x-4y+6=0截得的弦长等于___________.
     
  4. x^{2} +y^{2} -4x-5=0的弦AB的中点为M( 3,1),则直线AB的方程为___________.
     
  5. 直线l将圆x^{2} +y^{2} -2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程为___________.
     
  6. 直线\sqrt{3} x+y-2\sqrt{3} =0截圆x^{2} +y^{2} =4所得劣弧对的圆心角的弧度数是___________.
     
  7. x^{2} +y^{2} +2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为\sqrt{2}的点共有___________个.
     
  8. m为何值时,直线2x-y+m=0与圆x^{2} +y^{2} =5
    (1)截得的弦长为2;
    (2)交点处两条半径互相垂直.
     
     
     
     
     
     

圆与圆的位置关系

课后练习

  1. 已知圆C_{1} :x^{2} +y^{2} =10C_{2} :x^{2} +y^{2} +2x+2y-14=0.求两圆公共弦所在直线的方程.
     
     
     
     
     
     
  2. 已知圆C_{1} :x^{2} +y^{2} -2x-6y+1=0 ,C_{2} :x^{2} +y^{2} -4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
     
     
     
     
     
     

综合应用

题型一:最值问题

  1. P( x,y)为圆( x-3)^{2} +y^{2} =4上任一点,则\frac{y}{x}的最小值是___________.
     
  2. 求圆x^{2} +y^{2} =4上的点到直线4x+3y-12=0的最近、最远距离.
     
     
     
     
     
     
  3. 如果直线l将圆( x-2)^{2} +( y+3)^{2} =13平分,求坐标原点到直线l的最大距离.
     
     
     
     
     
     
  4. 已知点( x,y)在圆( x-2)^{2} +( y+1)^{2} =36上,求u=x+y的最大值和最小值.
     
     
     
     
     
     
  5. 已知实数x,y满足方程x^{2} +y^{2} -4x+1=0.
    (1)求\frac{y}{x}的最大值和最小值;
    (2)求y-x的最小值;
    (3)求x^{2} +y^{2}的最大值和最小值.
     
     
     
     
     
     
  6. (1)若点P( x,y)在圆C:( x-2)^{2} +y^{2} =3上,求\frac{y}{x}的最大值是.
    (2)已知x,y满足x^{2} +y^{2} -2x+4y=0,求x-2y的最大值.
     
     
     
     
     
     
  7. 已知直线 l:y=x+b与曲线C:y=\sqrt{1-x^{2}}有两个公共点.求b的取值范围.
     
     
     
     
     
     
  8. 曲线C:y=1+\sqrt{4-x^{2}}与直线l:y=k( x-2) +4有两个交点时,求实数k的取值范围.
     
     
     
     
     
     
  9. 已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB分别是圆x^{2} +y^{2} -2x-2y+1=0的两条切线,AB是切点,C为圆心.求四边形PACB面积的最小值.

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