013-最小生成树-Prim算法

我们假设一种情况：某个县有9个村落，现在需要修建一条公路，要求覆盖所有的村落并且所花费的费用最小？（如下图）

最小生成树1
我们怎么去找到一条路径去覆盖图中所有的顶点呢？

这就是我们加下来要讨论的内容：Prim算法

在研究Prim算法之前我们需要先了解一个概念，什么是最小生成树：

最小生成树：把构成连通网的最小代价的生成树成为最小生成树

接下来我们使用顺序存储的方式来实现Prim算法，首先需要创建一个二维数组将所有的边表存储起来，如下图

二维数组存储

Prim算法思路

1. 定义2个数组; adjvex ⽤用来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
2. 初始化2个数组, 从v0开始寻找最小生成树, 默认v0是最⼩小⽣生成树上第一个顶点
3. 循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
4. 更更新lowcost 数组
5. 循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更更新lowcost 数组与adjvex 数组;
   注意:
   更更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:
6. 与顶点k 之间有连接
7. 当前结点 j 没有加入过最小生成树;
8. 顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 小于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更更新. 简单说就是要⽐比较之前存储的值要⼩小,则更更新;

图结构的定义

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相关顶点下标 */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相关顶点间边的权值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
    /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一个顶点下标为0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */
    }
    
    //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        /* 初始化最小权值为∞， */
        /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
        {
            /* 如果权值不为0且权值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                /* 则让当前权值成为最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 将当前最小值的下标存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
         1. 与顶点k 之间连接;
         2. 该结点没有被加入到生成树;
         3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

最终我们会找到如下图的路径

最小生成树2