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2020 时序分析(9)

2020 时序分析(9)

作者: zidea | 来源:发表于2020-06-16 21:15 被阅读0次
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时间序列平稳性与非平稳性

在计量经济学中,主要研究范畴就是平稳时间序列。而在现实经济金融活动中,很大部分时间序列都是非平稳时间序列。

白噪声过程

白噪声过程也是随机过程,有关白噪声的定义我们说满足以下性质的随机过程就是白噪声

  • E(\epsilon_t) = 0
  • Var(\epsilon_t) = \sigma_{\epsilon}^2
  • E(\epsilon_t,\epsilon_{t-1}) = 0

从这些特性来看,白噪声属于弱平稳,具有 0 均值,但是因为自协方差为 0 而不再是时间间隔的函数,说明白噪声过程的显著特点是高度的随机性,也称纯随机性

我们说弱平稳需要方差函数为常数,但是在金融行业中,时间序列的波动聚集性。也就是不同时期方差不同,所以这样时间序列方差就不再是常数,而是随时间波动。这是在建模时候就会选择 ARCH 模型。

对于纯随机性的时间序列是没有研究价值。所以拿到一个时间序列先看一看这个时间序列是否为平稳的,如果是平稳,接下来工作就是就是找其内部的规律,在进行随机性检验,如果是纯随机的也就是没有必要花费更多时间浪费在纯随机序列上,因为这个时间序列没有研究价值。

好我们回到线性差分方程,我们重点说一下差分方程两种表达方式,其中我们先说一下什么是滞后算子。
假设已知时间序列\{y_t\}\{z_t\} 有如下关系
z_t = y_{t-1}
其实就是我们不用y_{t-1}来表示t-1是的y 而表达成为y_t = Ly_{t-1} 就是我们在程序中看到 lag 也有用 B 表示的,以此类推
\begin{aligned} y_{t-1} = L y_t\\ y_{t-2} = LL y_t \end{aligned}
所以用滞后算子表达出多项式
A(L) = \alpha_0 + \alpha_1L +\alpha_1L^2 + \dots + \alpha_p L^p

A(L)y_t = (\alpha_0 + \alpha_1L +\alpha_1L^2 + \dots + \alpha_p L^p) y_t

差分算子

阶差分

  • 一阶差分
    时间序列分析过程中,经常会用差分运算,对时间序列\{y_t\},差分运算可以表示为
    \Delta y_t = y_t - y_{t-1} = (1 - L)y_t
    其中,\Delta 差分算子,
  • 高阶差分
    \Delta^2 y_t = \Delta \Delta y_t
    \begin{aligned} = (y_t - y_{t-1}) - (y_{t-1} - y_{t-2})\\ = y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2} \\ =(1- 2L + L^2)y_t \end{aligned}
    在阶差分我们计算都是针对相邻的两个点的计算,而步差分

步差分

  • s 步差分
    差分运算还可以运用更多间隔的时间点之间,考虑
    \Delta_s y_t = y_t - y_{t-s} = (1 - L^s) y_t
    这里\Delta_s 称为 s 步差分。
    s 步差分的典型用处是测算季度或月度时间序列数据的同步变化,因此也称季节性差分。

求解p阶线性差分方程的特征根法

典型的 p 阶线性差分方程为
y_t = c + \alpha_1 y_{t-1} + \alpha_2 y_{t-2} + \alpha_p y_{t-p} + \epsilon_t

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