2020 时序分析(10)

作者: zidea | 来源:发表于2020-06-17 21:07 被阅读0次

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今天我们主要说时间序列的一些推导公式，之前看些资料，其中关于时间序列中常用AR模型、MA模型背后推导说的比较深，不易于理解。最近看了一些资料，适当地总结一些。

时间序列

时间序列虽然简单、但是要是想真正弄懂也需要花费一些功夫，将序列分解为一下形式。
$X_t = T_t + S_t + R_t, t =1,2,\dots$

$T_t$ 趋势项
$S_t$ 季节项
$R_t$ 随机性

这通过加法模型将这些项来表示时间序列，其中趋势项和季节项我们是可以通过模型来拟合，因为他们都是有规律可循的，需要我们能够通过模型学出来

$\begin{aligned} GDP_t = GDP_{t-1}(1 + 0.07)^1\\ GDP_t = GDP_{t-2}(1 + 0.07)^2 \end{aligned}$
GPD 就是一个趋势模型，而且是随着时间而不断成指数增长。

超市的人流，具有周期性，每周的人流在周末人流要相对于周一到周五人要多一些。每天人流下午要相对于上午人流要多一些。

$X_t - T_t - S_t = R_t, t =1,2,\dots$
那么也就是说明我们对 $R_t$ ,我们之前讨论过时间序列是一个随机过程，也就是 $f(x_1,x_2,\dots,x_t)$ 的联合分布，通常我们研究一个联合分布是一个比较复制的问题。
这是我们在统计模型时候，最早的NPL 分析用到链式法则来表示联合概率一种
$p(x_1)p(x_2|x_1)p(x_3|x_1,x_2)\dots p(x_n|x_{n -1},x_{n-2},\dots,x_1)$
学习过概都知道条件概率，时序每一个时刻随机变量都是和他之前的随机时间点的概率是相关。这就是联合概率，要计算这个联合概率是需要相当大的计算量。

马氏过程 $p(x_3|x_2,x_1) = p(x_3|x_2)$
$p(x_1)p(x_2|x_1)p(x_3|x_2)\dots p(x_n|x_{n-1})$
也就是把影响缩小到某一个时刻随机变量概率仅与其前一时刻的概率分布相关，这就可以表达为马氏过程
还有一种方式也就是今天我们讨论的表现形式。
$x_n = f(x_{n-1},\dots,x_1,\epsilon_n,\dots,\epsilon_0)$
认为这个函数是之前 p 个时间点的线性组合，然后在
$a_1x_{n-1} + \dots + a_px_{n-p} + \epsilon_n$
这就是在时间序列要研究的模型为 AR(p) 模型， $\epsilon_n$ 是白噪声像，也是随机扰动项，类似小球落地弹起的过程，我们知道小球落地后会弹起一定高度，小球每次弹起高度都可以看成系数，随着弹起次数增加，小球高度逐渐减少、这里 $\epsilon_n$ 表示干扰项，也就是外力的作用改变衰减过程。

$x_t = 0.8x_{t-1} + \epsilon_t$

$x_t = ax_{t-1} + \epsilon_t$
当 a 小于 1 说明模型是稳定，反之说明模型是不稳定，为什么会有这样结论。我们可以结合小球的落地原理来项这个问题。
其实我们非齐次项差分方程
$x_t - 0.8x_{t-1} = \epsilon_t$
下面是差分方程通解
$x_t - 0.8x_{t-1} = 0$
$Bx_t = x_{t-1}$
其中 B 也即是滞后算子L,这里用 B 来表示，这里还是再演示一下吧
$\begin{aligned} x_{t-1} = Bx_t \\ x_{t-2} = B^2x_t \\ \end{aligned}$
$x_t - 0.8Bx_t = \epsilon_t$
接下来计算特征解，提取左边 $x_t$
$(I - 0.8B)x_t = \epsilon_t$
$x_t = (I - 0.8B)^{-1}\epsilon_t$

$\frac{1}{1 - 0.8Z}$
$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x+ x^2 + \dots x^n + ,|x|<1$
可以表示无限变量只和形式，这个大家应该不会陌生，而且 $\frac{1}{1 + x}$ 类似 $\frac{1}{1 - 0.8Z}$ ，所以替换替换等比数列之和。
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - 0.8z} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.8z)^n\\ (I - 0.8B)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(0.8B)^n \end{aligned}$

$x_t = \sum_{n=0}^{\infty}(0.8)^nB^n \epsilon_t = \sum_{n=0}^{\infty} 0.8 \epsilon_{t-n}$

$B^n\epsilon_t = (B,B\dots,B)\epsilon_t$

重点相关性研究 $x_t$ 和 $x_{t-k}$ 可以用 $a_1,\dots,a_p$ 计算出来。AR序列相关性是随着负指数衰减，MA(q) 模型是有限相关性，
$X_t = b_1 \epsilon_{t-1} + \dots + b \epsilon_{t-q}$ 有限时间序列相关 $(X_t,X_{t-q-1})=0$

根据均方差最小原则，来进行预测
$f(x_{t-1},\dots,x_{t-p}) = E(x_t|x_t\dots x_{t-p})$
也就是我们讨论的AR模型，那么AR模型就可以用于时间序列分析
$a_1x_{t-1} + \dots + a_p x_{t-p}$

$f(x_1,x_6,x_7) = f(x_2,x_7,x_8)$ 这样时间序列步长间隔相同间分布是一致，这样时间序列才是平稳的时间序列。线性filter

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin nx + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos nx$
这是研究时间序列另一种模型，通过频域来研究时间序列

$x_t = a_1 x_{t-1} + \dots + a_p x_{t-p} + \epsilon_t$

$a_1,\dots,a_p$ 不能随意取值， $a_1z_p + \dots + a_pz =0$ 的多项式根必须在单位圆外部
对于AR模型有 $a_1,\dots,a_p$ 和研究 $Var(\epsilon_t) = \sigma^2$ 有 p+1 个参数，我们主要就是研究这个写参数，通过调整参数找到拟合预测线最好

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