平稳性

时间序列分析理论中有两种平稳性定义

严平稳(strictly stationary)
弱平稳(weakly stationary)

严平稳

所谓严就是说严平稳的所有统计性质都不随时间的变化而变化。这是严平稳性质也是严平稳的定义.
以后我们对于一些概念都可以尝试用数学语言描述一下，
$F_n(x_1,x_2,\dots,x_n;t_1,t_2,\dots,t_nx_1,x_2,\dots,x_n;t_1 + \epsilon,t_2 + \epsilon,\dots,t_n + \epsilon)$

弱平稳

也称协方差平稳(covariance stationary)、二阶平稳(second-order stationary)或宽平稳(wide-sense stationary)，弱平稳时间序列的一阶矩和二阶矩不随时间的变化而变化。

判断时间序列的平稳性有助随后选择模型，那么的平稳性是时间序列一个重要性质，可以用来给时间序列进行分类。

我们会谈谈严平稳和弱平稳之间的关系，满足严平稳的序列具有弱平稳性，但是严平稳并不能全部涵盖弱平稳。为什么说严平稳并不能全部涵盖弱平稳?这是因为柯西分布是严平稳时间序列，但是不存在二阶矩或一阶矩，所以柯西分布就是不满足弱平稳的严平稳。

当时间序列为正态分布序列，则由二阶矩描述了正态分布的所有统计性质，此时弱平稳的正态序列也是严平稳。

因为在实际中多数时间序列都是弱平稳，所以今天我们也要重点谈谈弱平稳。

平稳性定义

如果时间序列 $\{y_t\}$ 的二阶矩有限
$E(y_t) = E(y_{t-j}) = \mu$
我们看随着时间变化，时间序列的均值是一个常数。
$Var(y_t) = Var(y_{t-j}) = \sigma^2$
方差同均值一样也是常数，方差是二阶矩
$Cov(y_t,y_{t-s}) = Cos(y_{t-j},y_{t-j-s}) = \gamma_s$
协方差也是二阶矩，不同时刻的点是否有规律性，因为弱平稳的协方差或者准确地说自协方差是一个时间间隔的函数。当时间间隔协方差是相当的，当间隔不相同的时候对应协方差就不相同，当 s 变化 $\gamma_s$ 就会变化

其实我们就是在找 $(y_t,y_{t-1})$ 和 $(y_t,y_{t-2})$ 之间的关系，这里用 $\gamma(s)$ s 表示不同的时间间隔，例如 $(y_t,y_{t-s})$

那么也就是说弱平稳时间序列的自协方差只与时滞 s 有关，与时间的起始位置 t 无关。

自协方差 $Cov(y_t,y_{t-s})$ 简记为仅与时滞s 相关的一元函数形式 $\gamma_s$ 当 $s=0$ 时， $\gamma_0$ 就等同于方差
$\gamma_0 = \sigma^2$
平稳时间序列的自相关系数也可以简记为与时滞 s 相关的一元函数形式 $p_s$
$p_s \frac{\gamma_s}{\gamma_0} = \frac{\gamma_s}{\sigma^2}$