经典算法应用之四（上）---基本位操作之算法篇

在计算机中所有数据都是以二进制的形式储存的。位运算其实就是直接对在内存中的二进制数据进行操作，因此处理数据的速度非常快。
在实际编程中，如果能巧妙运用位操作，完全可以达到四两拨千斤的效果，正因为位操作的这些优点，所以位操作在各大IT公司的笔试面试中一直是个热点问题。因此本文将对位操作进行如下方面总结：
一． 位操作基础，用一张表描述位操作符的应用规则并详细解释。
二． 常用位操作小技巧，有判断奇偶、交换两数、变换符号、求绝对值。
三． 位操作与空间压缩，针对筛素数进行空间压缩。
四． 位操作的趣味应用，列举了位操作在高低位交换、二进制逆序、二进制中1的个数以及缺失的数字这4种趣味应用。

一． 位操作基础

基本的位操作符有与、或、异或、取反、左移、右移这6种，它们的运算规则如下所示：

符号	描述	运算规则
&	与	两个位都为1时，结果才为1
竖线	或	两个位都为0时，结果才为0
^	异或	两个位相同为0，相异为1
~	取反	0变1，1变0
<<	左移	各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0
>>	右移	各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补0（逻辑右移）

注意以下几点：
1． 在这6种操作符，只有~取反是单目操作符，其它5种都是双目操作符。
2． 位操作只能用于整形数据，对float和double类型进行位操作会被编译器报错。
3． 对于移位操作，在微软的VC6.0和VS2008编译器都是采取算术称位即算术移位操作，算术移位是相对于逻辑移位，它们在左移操作中都一样，低位补0即可，但在右移中逻辑移位的高位补0而算术移位的高位是补符号位。如下面代码会输出-4和3。

int a = -15, b = 15;  
printf("%d %d\n", a >> 2, b >> 2);  

因为15=0000 1111(二进制)，右移二位，最高位由符号位填充将得到0000 0011即3。-15 = 1111 0001(二进制)，右移二位，最高位由符号位填充将得到1111 1100即-4（见注1）。
4． 位操作符的运算优先级比较低，因为尽量使用括号来确保运算顺序，否则很可能会得到莫明其妙的结果。比如要得到像1，3，5，9这些2^i+1的数字。写成int a = 1 << i + 1;是不对的，程序会先执行i + 1，再执行左移操作。应该写成int a = (1 << i) + 1;
5． 另外位操作还有一些复合操作符，如&=、|=、 ^=、<<=、>>=。

二． 常用位操作小技巧
下面对位操作的一些常见应用作个总结，有判断奇偶、交换两数、变换符号及求绝对值。这些小技巧应用易记，应当熟练掌握。
1．判断奇偶
只要根据最未位是0还是1来决定，为0就是偶数，为1就是奇数。因此可以用if ((a & 1) == 0)代替if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。
下面程序将输出0到100之间的所有奇数。

for (i = 0; i < 100; ++i)  
    if (i & 1)  
        printf("%d ", i);  
putchar('\n');  

2．交换两数
一般的写法是：

void Swap(int &a, int &b)  
{  
    if (a != b)  
    {  
        int c = a;  
        a = b;  
        b = c;  
    }  
}  

可以用位操作来实现交换两数而不用第三方变量：

void Swap(int &a, int &b)  
{  
    if (a != b)  
    {  
        a ^= b;  
        b ^= a;  
        a ^= b;  
    }  
}  

可以这样理解：
第一步 a^=b 即a=(a^b);
第二步 b^=a 即b=b^(ab)，由于^{运算满足交换律，b}(a^b)=bb^a。由于一个数和自己异或的结果为0并且任何数与0异或都会不变的，所以此时b被赋上了a的值。
第三步 a^=b 就是a=a^{b，由于前面二步可知a=(a}b)，b=a，所以a=a^b即a=(ab)^a。故a会被赋上b的值。再来个实例说明下以加深印象。int a = 13, b = 6;
a的二进制为 13=8+4+1=1101(二进制)
b的二进制为 6=4+2=110(二进制)
第一步 a^=b a = 1101 ^ 110 = 1011;
第二步 b^=a b = 110 ^ 1011 = 1101;即b=13
第三步 a^=b a = 1011 ^ 1101 = 110;即a=6
3．变换符号
变换符号就是正数变成负数，负数变成正数。
如对于-11和11，可以通过下面的变换方法将-11变成11
1111 0101(二进制) –取反-> 0000 1010(二进制) –加1-> 0000 1011(二进制)
同样可以这样的将11变成-11
0000 1011(二进制) –取反-> 0000 0100(二进制) –加1-> 1111 0101(二进制)
因此变换符号只需要取反后加1即可。完整代码如下：

#include <stdio.h> 
int SignReversal(int a)  
{  
    return ~a + 1;  
}  
int main()  
{  
    int a = 7, b = -12345;  
    printf("%d  %d\n", SignReversal(a), SignReversal(b));  
    return 0;  
}  

4．求绝对值
位操作也可以用来求绝对值，对于负数可以通过对其取反后加1来得到正数。对-6可以这样：
1111 1010(二进制) –取反->0000 0101(二进制) -加1-> 0000 0110(二进制)
来得到6。
因此先移位来取符号位，int i = a >> 31;要注意如果a为正数，i等于0，为负数，i等于-1。然后对i进行判断——如果i等于0，直接返回。否之，返回~a+1。完整代码如下：

int my_abs(int a)  
{  
    int i = a >> 31;  
    return i == 0 ? a : (~a + 1);  
}  

现在再分析下。对于任何数，与0异或都会保持不变，与-1即0xFFFFFFFF异或就相当于取反。因此，a与i异或后再减i（因为i为0或-1，所以减i即是要么加0要么加1）也可以得到绝对值。所以可以对上面代码优化下：

int my_abs(int a)  
{  
    int i = a >> 31;  
    return ((a ^ i) - i);  
}  

注意这种方法没用任何判断表达式，而且有些笔面试题就要求这样做，因此建议读者记住该方法（^_讲解过后应该是比较好记了）。

三． 位操作与空间压缩
筛素数法在这里不就详细介绍了，本文着重对筛素数法所使用的素数表进行优化来减小其空间占用。要压缩素数表的空间占用，可以使用位操作。下面是用筛素数法计算100以内的素数示例代码（注2）：

const int MAXN = 100;  
bool flag[MAXN];  
int primes[MAXN / 3 + 1], pi;  
//对每个素数，它的倍数必定不是素数。  
//有很多重复如flag[10]会在访问flag[2]和flag[5]时各访问一次  
void GetPrime_1()  
{  
    int i, j;  
    pi = 0;  
    memset(flag, false, sizeof(flag));  
    for (i = 2; i < MAXN; i++)  
        if (!flag[i])  
        {  
            primes[pi++] = i;  
            for (j = i; j < MAXN; j += i)  
                flag[j] = true;  
        }  
}  
void PrintfArray()  
{  
    for (int i = 0; i < pi; i++)  
        printf("%d ", primes[i]);  
    putchar('\n');  
}  
int main()  
{  
    printf("用筛素数法求100以内的素数\n-- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows ) --\n\n");    
    GetPrime_1();  
    PrintfArray();  
    return 0;  
}  

运行结果如下：

在上面程序是用bool数组来作标记的，bool型数据占1个字节（8位），因此用位操作来压缩下空间占用将会使空间的占用减少八分之七。
下面考虑下如何在数组中对指定位置置1，先考虑如何对一个整数在指定位置上置1。对于一个整数可以通过将1向左移位后与其相或来达到在指定位上置1的效果，代码如下所示：

//在一个数指定位上置1  
int j = 0;  
j |=  1 << 10;  
printf("%d\n", j);  

同样，可以1向左移位后与原数相与来判断指定位上是0还是1（也可
以将原数右移若干位再与1相与）。

   //判断指定位上是0还是1  
int j = 1 << 10;  
if ((j & (1 << 10)) != 0)  
    printf("指定位上为1");  
else  
    printf("指定位上为0");  

扩展到数组上，我们可以采用这种方法，因为数组在内存上也是连续分配的一段空间，完全可以“认为”是一个很长的整数。先写一份测试代码，看看如何在数组中使用位操作：

int main()  
{  
    printf("     对数组中指定位置上置位和判断该位\n");  
    printf("--- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  ---\n\n");  
    //在数组中在指定的位置上写1  
    int b[5] = {0};  
    int i;  
    //在第i个位置上写1  
    for (i = 0; i < 40; i += 3)  
        b[i / 32] |= (1 << (i % 32));  
    //输出整个bitset  
    for (i = 0; i < 40; i++)  
    {  
        if ((b[i / 32] >> (i % 32)) & 1)  
            putchar('1');  
        else   
            putchar('0');  
    }  
    putchar('\n');  
    return 0;  
}  

运行结果如下：

可以看出该数组每3个就置成了1，证明我们上面对数组进行位操作的方法是正确的。因此可以将上面筛素数方法改成使用位操作压缩后的筛素数方法：

//使用位操作压缩后的筛素数方法    
const int MAXN = 100;  
int flag[MAXN / 32 + 1];  
int primes[MAXN / 3 + 1], pi;  
void GetPrime_1()  
{  
    int i, j;  
    pi = 0;  
    memset(flag, 0, sizeof(flag));  
    for (i = 2; i < MAXN; i++)  
        if (!((flag[i / 32] >> (i % 32)) & 1))  
        {  
            primes[pi++] = i;  
            for (j = i; j < MAXN; j += i)  
                flag[j / 32] |= (1 << (j % 32));  
        }  
}  
void PrintfArray()  
{  
    for (int i = 0; i < pi; i++)  
        printf("%d ", primes[i]);  
    putchar('\n');  
}  
int main()  
{  
    printf("用位操作压缩后筛素数法求100以内的素数\n-- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows ) --\n\n");    
    GetPrime_1();  
    PrintfArray();  
    return 0;  
}  

同样运行结果为：

另外，还可以使用C++ STL中的bitset类来作素数表。筛素数方法在笔试面试出现的几率还是比较大的，能写出用位操作压缩后的筛素数方法无疑将会使你的代码脱颖而出，因此强烈建议读者自己亲自动手实现一遍，平时多努力，考试才不慌。
位操作的压缩空间技巧也被用于strtok函数的实现，请参考《strtok源码剖析 位操作与空间压缩》（http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/8740315）

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