1. 图像的卷积
1.1 卷积
卷积是一种数学运算，它将两个函数（或矩阵）结合起来，生成一个第三个函数。在图像处理中，卷积通常用于将一个滤波器与图像进行运算。
图像的滤波器是一种用于增强或抑制图像中特定特征的工具。它通常是一个小矩阵，定义了如何对图像中的像素进行操作。
卷积在图像处理中有很多应用，包括图像平滑、图像锐化、边缘检测和图像分割。
1.2 卷积的原理
在泛函分析中，卷积（convolution），或译为叠积、褶积或旋积，是透过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。
卷积可分为一维卷积、二维卷积、三维卷积和多维卷积等。
1.2.1 一维卷积
一维卷积在数学上的定义: f 和 g 是实数 R 上的两个可积函数，我们称 （f*g)(n) 为 f、g 的卷积。
其连续的定义为：
其离散的定义为：
1.2.2 二维卷积
在图像处理中，我们常用的是二维卷积。其原理是将一个称为卷积核(滤波器)的矩阵与图像进行滑动运算，从而得到一个新的图像。
2D_Convolution_Animation.gif
滑动运算是指将卷积核在图像上逐个像素移动，并对每个位置进行卷积操作。
在图像的二维卷积中，如果把图像矩阵简写为 I 把卷积核 Kernal 简写为 K，则目标图像的第 (i,j) 个像素的卷积值为：
其中，I 是一个二维矩阵，K 是一个大小为 mxn 的卷积核。基于卷积的可交换性，可以把上述公式改成：
与之类似的还有互相关函数(corresponding function):
它在很多图像处理库和深度学习库中，经常会用到。
上图实质上是二维单通道的卷积，对于二维多通道的卷积如下图所示，将每个卷积核应用到每一个通道上。
将filters中的每个kernels分别应用于三个通道.gif
然后将每个通道处理后的每个加在一起以形成单个输出通道。
将这三个通道加在一起（逐元素加法）以形成一个单个通道.gif
1.2.3 三维卷积
三维卷积是卷积在三维空间上的推广。它将一个三维的滤波器与一个三维的输入数据进行卷积运算，得到一个三维的输出数据，以提取三维数据中的特征。主流的深度学习框架，都提供了三维卷积的实现。
3D_Convolution_Animation.gif
1.3 卷积的性质
卷积具有交换律、结合律、分配律，以二维卷积为例它具有以下的性质：
- 交换律：f(x, y) * g(x, y) = g(x, y) * f(x, y)
- 结合律：(f(x, y) * g(x, y))* h(x, y) = f(x, y) * (g(x, y) * h(x, y))
- 分配律：f(x, y) * (g(x, y) + h(x, y)) = f(x, y) * g(x, y) + f(x, y) * h(x, y)
2. 图像滤波
2.1 图像滤波
图像滤波是一种图像处理技术，用于增强或抑制图像中的特定特征，它可以看作是卷积的一种特殊情况。图像滤波可以用图像卷积来实现，但是图像卷积不一定是图像滤波。
在 OpenCV 中，提供了丰富的图像滤波函数，可以满足各种图像处理需求。常用图像滤波函数包括：
-
均值滤波:
blur()、boxFilter() -
高斯滤波:
GaussianBlur() -
中值滤波:
medianBlur() -
双边滤波:
bilateralFilter() -
非线性滤波:
fastNlMeansDenoising() -
边缘检测滤波:
Sobel()、Scharr()、Laplacian() -
形态学滤波:
erode()、dilate()、morphologyEx() -
频域滤波:
dft()、idft()
下面的例子，分别展示了原图经过均值滤波、高斯滤波、中值滤波和双边滤波之后的效果图。特别是双边滤波，对原图中的美女进行了美颜和磨皮。
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
Mat src = imread(".../girl.jpg");
// 均值滤波
Mat blurred_image;
blur(src, blurred_image, Size(15, 15));
// 高斯滤波
Mat gaussian_blurred_image;
GaussianBlur(src,gaussian_blurred_image, Size(15, 15), 0);
// 中值滤波
Mat median_blurred_image;
medianBlur(src, median_blurred_image,15);
// 双边滤波
Mat bilateral_filtered_image;
bilateralFilter(src, bilateral_filtered_image,15, 80, 80);
imshow("Original Image", src);
imshow("Blurred Image", blurred_image);
imshow("Gaussian Blurred Image", gaussian_blurred_image);
imshow("Median Blurred Image", median_blurred_image);
imshow("Bilateral Filtered Image", bilateral_filtered_image);
waitKey(0);
return 0;
}
原图和均值滤波.png
高斯滤波和中值滤波.png
原图和双边滤波.png
OpenCV 还提供了自定义的滤波器 filter2D() 函数，在该系列的第九篇文章中，曾经介绍过 filter2D() 函数。
下面的例子，展示了使用 filter2D() 函数对图像进行模糊和锐化。
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
Mat src = imread(".../girl.jpg");
imshow("src", src);
Mat blurred_image,sharpen_image;
Mat kernel1 = Mat::ones(5, 5, CV_32F) / (float)(25);
Mat kernel2 = (Mat_<char>(3, 3) << 0, -1, 0, -1, 5, -1, 0, -1, 0);
filter2D(src, blurred_image, -1, kernel1);
filter2D(src, sharpen_image, -1, kernel2);
imshow("Blurred Image", blurred_image);
imshow("Sharpen Image", sharpen_image);
waitKey(0);
return 0;
}
filter2D函数实现的滤波.png
下面简单解释一下 filter2D() 函数：
void filter2D( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
InputArray kernel, Point anchor = Point(-1,-1),
double delta = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT );
第三个参数 ddepth: 输出图像的深度。当 ddepth 输入值为 -1 时，目标图像和原图像深度保持一致。
第四个参数 kernel: 卷积核。
第五个参数 anchor: 卷积核的锚点。
第六个参数 delta: 卷积结果与原图像相加的值。
第七个参数 borderType: 边界处理方式。
2.2 图像滤波的分类
根据滤波器在图像域和频域的操作方式，图像滤波可以分为空间域滤波和频域滤波。
2.2.1 空间域滤波
空间域滤波直接对图像中的像素进行操作，根据滤波器与图像像素之间的空间关系来计算输出像素的值。空间域滤波的计算量通常较小，但滤波效果往往比较局限。
空间域滤波按滤波器的线性特性又可分为：
-
线性滤波：滤波器输出与输入之间呈线性关系。
常用的线性滤波器包括：
a 均值滤波：用于去除图像噪声，具有平滑图像的效果。
b 高斯滤波：具有平滑图像和边缘保持的效果。
c 中值滤波 (仅在某些情况下)：具有去除椒盐噪声和保持边缘细节的效果。
d 拉普拉斯滤波：用于边缘检测。 -
非线性滤波：滤波器输出与输入之间不呈线性关系。
常用的非线性滤波器包括：
a 中值滤波 (在一般情况下)：用于去除椒盐噪声和保持边缘细节。
b 双边滤波：具有平滑图像和保持边缘细节的效果。
c 自适应滤波：根据图像局部特性进行滤波，具有较好的滤波效果。
2.2.2 频域滤波
频域滤波是将图像傅里叶变换到频域，然后对频谱进行滤波，最后再将频谱逆傅里叶变换回空间域得到滤波后的图像。频域滤波的计算量通常较大，但滤波效果往往比较灵活。
频域滤波按滤波器的作用方式又可分为：
- 低通滤波：滤除图像中的高频成分，具有平滑图像的效果。
- 高通滤波：滤除图像中的低频成分，具有锐化图像的效果。
- 带通滤波：滤除图像中的特定频段成分，具有增强图像纹理的效果。
3. 总结
图像卷积和图像滤波是图像处理中两个密切相关的概念。它们都涉及到使用滤波器对图像进行操作，以获得新的图像。
图像卷积是图像滤波的基础，图像滤波可以通过图像卷积来实现，但图像滤波也可以使用其他方法来实现。
图像卷积和图像滤波具有广泛的应用，通过使用不同的滤波器，可以实现各种图像处理效果。
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