像素是图像的基本元素，像素与像素之间存在着某些联系，理解像素间的基本关系是数字图像处理的基础。常见的像素间的基本关系包括：邻域、邻接、通路、连通、距离。
1. 邻域
邻域表示了像素之间的连接关系。
像素(x,y)的邻域，是指与像素(x,y)对应的点的集合{(x+p,y+q)} ，其中 (p,q) 为一对有意义的整数。邻域是像素(x,y)附近像素形成的区域，像素 (x,y) 也被称为中心像素。
最常用的邻域有以下几种：
-
4 邻域：对于像素(x,y)，上下左右4个像素被称为 4 邻域，使用
表示。4 邻域的四个像素分别是：(x,y-1)、(x,y+1)、(x-1,y)、(x+1,y)。
-
D 邻域：对于像素(x, y), 其左上、右上、左下、右下的四个对角上的像素组成了 D 邻域，使用
表示。D 邻域四个像素分别是：(x + 1, y + 1)、( x + 1, y - 1)、(x - 1, y + 1)、(x - 1, y - 1)。
-
8 邻域：对于像素(x,y)，它的 4 邻域的点和 D 邻域的点组成了 8 邻域，使用
表示。那么，
邻域.png
邻域是一个很基础的概念。后续我们对图像进行卷积操作的时候，通常是对当前像素的邻域像素进行操作的。
以一个最简单的均值滤波为例，均值滤波是对于每一个像素点, 将其设定为取其邻域窗口内的所有像素的平均值。
算术均值滤波器的公式：
其中，表示以像素(x,y)为中心的区域，m*n 是 模板 的大小。f(x,y) 表示原图像，g(x,y) 表示使用
定义的邻域中的像素所计算出的算术平均值。
这里的模板，也可以被称为核(kernels)、窗口(windows)、掩模(mask)。
下图以 3*3 的模板为例，均值滤波会对原图像的每一个像素点，计算它的邻域像素和模版矩阵的对应元素的乘积，然后加起来，作为该像素位置的值。窗口的移动是从左到右，然后从上到下依次移动。
卷积.png
下面，实现一个简单的均值滤波函数
Mat meanFilter(Mat &src, int ksize = 3)
{
cv::Mat dst = src.clone();
int k0 = ksize/2;
int sum[3] = {0,0,0};
for(int i=k0;i<dst.rows-k0-1;i++)
{
for(int j=k0;j<dst.cols-k0-1;j++)
{
memset(sum,0, sizeof(sum));
for(int channel = 0; channel<3; channel++)
{
for(int m = 0;m<ksize;m++)
{
for (int n=0;n<ksize;n++)
{
sum[channel] += src.at<cv::Vec3b>(i-k0+m,j-k0+n)[channel];
}
}
dst.at<Vec3b>(i,j)[channel] = saturate_cast<uchar>((float)sum[channel] /(ksize*ksize));
}
}
}
return dst;
}
当然这个代码只是粗略地实现均值滤波，存在着很多优化的空间，例如使用积分图、卷积核分离等。OpenCV 也提供了均值滤波函数 blur() 函数。
int main(int argc,char *argv[])
{
Mat src = imread(".../flower.jpg");
imshow("src",src);
Mat dst;
dst = meanFilter(src, 15);
imshow("meanFilter",dst);
blur(src,dst,Size(15,15));
imshow("blur",dst);
waitKey(0);
return 0;
}
均值滤波函数效果.png
上面只是简单例举了领域的使用场景，后续会有专门的文章来详细介绍卷积和滤波。
2. 邻接
邻接是指两个像素，在位置上相邻并且取值相同或相近。
我们用 V 表示定义邻接的灰度值集合。在二值图像中，V={1} 表示值为1的像素邻接。在灰度图像中，V 包含更多的元素。
-
4 邻接：对于灰度值在 V 集合中的像素 p 和 q，如果 q 在
-
8 邻接：对于灰度值在 V 集合中的像素 p 和 q，如果 q 在
-
m 邻接(混合邻接)：m 邻接是 8 邻接的改进。只要满足以下任何一个条件即可：
-
q 在
-
q 在
中没有来自 V 中的像素。
-
像素 p 和 q 是 4 邻接，那么它们一定是 8 邻接的。反之，不一定成立。
下图反应了 8 邻接会带来二义性。
邻接.png
从图中可以看到，p 是中心像素。
-
q1、q2 和 p 是 8 邻接的。
-
q1 和 p 非 m 邻接的。
-
q2 和 p 是 m 邻接的。
某条通路经过像素 q2、p、q1，那会有几种走法呢？
如果从 p、q1、q2 是 8 邻接的角度看，p 到 q1 可以有2种走法，所以 q2 到 q1 的通路有2条。
同理，从 m 邻接角度看，p 和 q1 只有1种走法，所以 q2 到 q1 的通路只有1条。
所以，m 邻接的引入是为了消除 8 邻接常常带来二义性。
从集合的角度看：
3. 通路
通路：从像素 p 到像素 q
的通路是特定的像素序列，其坐标为：
并且满足， 和
对于
是邻接的。
闭合通路：如果满足，则通路是闭合通路。
由不同的邻接定义，可以得到不同的通路：4 邻接 => 4 通路，8 邻接 => 8 通路，m 邻接 => m 通路
通路.png
所以，从中间的图可以看到 q2 和 q1 之间存在 8 通路，从最右的图可以看到 q2 和 q1 之间存在 m 通路。
从集合的角度看：
下图中，p-q 通路对应的是不同的通路。
多种通路.png
4. 连通
连通：若 S 是图像中的一个像素子集，对于任意的 。如果存在一条由 S 中像素组成的从 p 到 q 的通路，则称 p 在像素集 S 中与 q 连通。
邻接是连通的一种特例，连通是由一系列依次邻接的像素组成的。
连通分为 4 连通和 8 连通。
连通分量：对于 S 中任意像素 p，所有与 p 相连通且又在 S 中的像素集合。
连通集：如果 S 中仅有一个连通分量，则 S 称为连通集。
在之前基本图形的绘制那篇文章里， 曾介绍过绘图函数所使用的 lineType 参数。
下面对这个参数做一些补充说明：
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LINE_4 ：基于 4 连通 Bresenham 算法处理的直线。
-
LINE_8 ：基于 8 连通 Bresenham 算法处理的直线。
-
LINE_AA ：基于高斯滤波平滑处理的直线。
lineType 参数.png
下面的例子，展示了使用不同的 lineType 参数的效果
int main(int argc,char *argv[])
{
Mat image = Mat::zeros(Size(80, 80), CV_8UC3);
image.setTo(255);// 设置屏幕为白色
Point p1(20, 0);
Point p2(80, 60);
Point p3(0, 0);
Point p4(80, 80);
Point p5(0, 20);
Point p6(60, 80);
line(image, p1, p2, Scalar(0, 0, 255), 1, LINE_4);
line(image, p3, p4, Scalar(255, 0, 0), 1, LINE_8);
line(image, p5, p6, Scalar(0, 255, 0), 1, LINE_AA);
imshow("src", image);
waitKey(0);
return 0;
}
将生成的图片放大，可以看到使用 LINE_4、LINE_8、LINE_AA 画出来的线段效果是不同的。使用 LINE_AA 效果看上去是最好的，其次是 LINE_8。
不同lineType参数的效果.png
通过邻接可以引申很多概念，邻接 -> 通路 -> 连通 -> 连通集 -> 区域/邻接区域 -> 前景和背景 -> 边界
5. 距离
对于像素 p(x,y)、q(s,t) 和 z(u,v)，如果满足：
-
非负性：D(p,q) ≥ 0
-
同一性：D(p,q)=0，当且仅当p=q时
-
对称性：D(p,q) = D(q,p)
-
直递性：D(p,z) ≤ D(p,q) + D(q,z)
则称 D 是距离的度量函数。
在欧几里得空间中，点和点
之间的闵可夫斯基距离：
- 曼哈顿距离
当 p = 1 时，即为曼哈顿距离或城市距离、街区距离，是指两个向量之间的距离，在计算距离时不涉及对角线移动。像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的距离公式：
表示从像素 p 向像素 q 出发，每次能走的点必须是在当前像素点的 4 邻域中。一步一步走到 q 点后，一共经过的像素点数就是曼哈顿距离。
- 欧式距离
当 p = 2 时，即为欧式距离，就是直角坐标系的距离。像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的距离公式：
- 切比雪夫距离
当 p = 时，即为切比雪夫距离或棋盘距离，像素 p(x,y) 和 q(s,t) 之间的距离公式：
表示从像素 p 向像素 q 出发，每次能走的点必须是在当前像素点的 8 邻域中。一步一步走到 q 点后，一共经过的像素点数就是切比雪夫距离。
6. 总结
本文涉及到很多概念，这些概念代表着像素间的基本关系。像邻域、连通在后续文章中很多都会涉及到，像距离又跟相似度有关，所以它们是数字图像的基础。
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