我们前文指出过，正态分布的一个重要特性是它的稳定性，即服从正态分布的收益加和后的结果依然服从正态分布。
但是这一特性不适用于正态分布收益的乘积，这样我们依然寻找较长时段收益的分布。
例如，两个时段的实际收益率和
均为正态分布，这两个时段总收益率
不是正态分布。
正态分布不能用来做我们想象的简化分布，但是对数正态分布可以。
什么是对数正态分布？一个随机变量X，如果其对数形式ln(X)服从正态分布，则X服从对数正态分布。
这样如果瞬间股票价格服从正态分布(即在一个极短时段收益呈正态分布)那么一个较长时段的复利收的股对数正态分布。
反过来，如果股票价格服从对数正态分布，其连续复利收益(CC)服从正态分布。
既然不管时段多长，连续复利收益服从正态分布，如果采用连续复利收益率而非实际收益率，我们依然可以利用正态分布带来的种种简化。
回顾一下连续复利收益公式，如果有实际收益率，我们即可计算连续复利收益率。
如果服从正态分布，则可以用它进行各种分析和计算。
如果有需要，也可以从反推实际收益率，即
我们看看当股票价格服从对数正态分布时能得出些什么样的规律。
假设对数股票价格服从预期年化增长率为、标准差为
的正态分布。
收益受到随机冲击时，这些波动对价格的影响并非对称。
一个正向的向上冲击提高了股价，则下一个冲击较上一个大。
反过来也一样，一个负向冲击降低了股价，下一个冲击则较小。
这样，一连串的正向冲击将有一个较大的上行影响，一连串的负向冲击将产生较大的下行影响。
因此，即便为0波动性推动股价上行。
这种额外移动有多大？这取决于最小价格变动的大小事实上，它恰好等于其方差的一半。
这样连续复利收益率将大于
预期的年化连续复利收益率(CC)等于
有了正态分布的CC，我们预期期初财富复利到年末为
。
因此预期实际利率等于
如果将年化CC用到期限为T的一项投资，不管T是大于或小于1年该投资将按照速度增长。
预期累计收益率与
成比例即
预期的期末财富为
累计收益率的方差也与时段长度成比例，即，但是其标准差与时段长度呈平方根的关系，即
上式提供了降低长期投资风险的途径。
因为预期收益与时段长度成比例增长，而标准差增长的速度较慢，这样一项长期风险投资的预期收益相对于其标准差增长更快。
也许预期损失也随着投资期限增加而下降。
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