数学建模系列笔记4：主成分和方差分析

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4-4-1 主成分分析

• 在若干相互关联、关系复杂的一组变量中，找到最为关键的因素。在寻找关键因素过程中，还需要找到能够反映该组变量这个群体的主要特征。

• 综合评价要求评价指标线性无关

• 建立回归模型的需要
  

  思想原理

  原始数据是一组n维列向量组，将其进行标准化处理：
  
  希望得到的形式：
  
  对各的要求是：

1. 使各个综合指标彼此独立或不相关

2. 使各个综合指标所反映的各个样品的总信息等于原来p个指标所反映的各个样品的总信息，即
   
   主成分的系数确定
   

   

4-4-2 主成分分析的应用

主成分分析计算步骤：

1. 对原始资料矩阵进行标准化处理
2. 计算相关稀疏矩阵R
3. 计算R的特征值和单位正交特征向量
4. 确定主成分个数，一般累积方差贡献率要超过80%
5. 建立相应的主成分方程：

后续拓展：综合评价和主成分回归

4-5-1 方差分析

使用背景：研究生产条件或试验条件的改变对产品的质量和产量有无影响。哪些因素是主要的，哪些是次要的。

方差分析：通过对试验数据进行分析，找出对该事物有显著影响的因素，个因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平的有效方法。

因素：影响试验指标的条件

水平：因素所处的状态

单因素方差分析：试验过程中除因素A外，其他影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在）。任务是从试验结果推断，因素A对指标有无显著影响，即当A取不同水平时指标有无显著差别。

假设因素A有S个水平,在水平下进行了次独立实验，为建立数学模型，假设：

1. 各个水平下的样本来自具有相同方差，均值分别为正态总体

2. 不同水平下的样本相互独立

   由于，即有,故可看成随机误差，记，则

   其中均为未知参数

方差分析的任务：

1. 检验S个总体的均值是否相等，即检验假设
   

2. 做出未知参数的估计

4-5-2 单因素方差分析

4-5-3 非参数检验

非参数检验 non-parametric test：又称为分布自由检验，一种与总体分布状况无关的检验方法，它依赖于总体分布的形式，应用时可以不考虑被研究的对象为何种分布以及分布是否已知。

1. 非参数检验主要利用样本数据之间的大小比较及大小顺序，对两个或多个样本所属总体是否相同进行检验，而不对总体分布的参数如平均数、标准差等进行统计推断。

2. 符号检验法

   设X为连续总体，其中位数即为,考虑假设检验问题
   
   由于是总体的中位数，可知当原假设成立时，,因此上述假设检验问题等价于：
   
   从总体抽取容量为n的样本时，记为+号；当时，记为-号；当，记为0.用分别表示+号和-号个数。令

   取检验统计量

3. Wilcoxon符号秩检验

   符合检验只考虑了分布在中位数两侧的样本数据的个数，并没有考虑中位数两侧数据分布的疏密程度的差别，这就使得符号检验的结果比较粗糙，检验功能低。

   Wilcoxon检验比单独用正负号的检验更加有效，它适用于单个样本中位数的检验，也适用于配对样本的比较检验，但并不要求样本之差服从正态分布，只要求对称分布即可。

   原理：

   设连续分布总体X服从对称分布，其中位数记为,考虑假设检验问题：
   
   从总体X中抽取容量为n的样本,将从小到大排序，并计算它们的秩即序号，取值相同求平均秩，根据的序号将分为正和负号组，用分别表示正号组和负号组的秩和，则

   若成立，则取值相差不大，即不应太小，否则应认为不成立。选取检验统计量

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