B-树/B+树

B-树(Balance树)和B+树应用与数据库索引，是m叉的多路平衡查找树。

1. 性质分析

1.1 M阶B-树

1.1.1 M阶B-树性质

• 每个节点最多包含M个孩子;【M为树的阶，M的大小取决于磁盘页的大小】
• 根节点，至少有2个孩子节点;
• 每个中间节点都包含K-1个关键字和K个孩子，其中关键字以升序排列；【 ceil(M) / 2 <=K<= M】
• 每个叶子节点都包含K-1个元素；【 ceil(M) / 2 <=K<= M】

• 所有叶子节点在同一层；【根节点到每一个叶子节点路径长度相同】

  
  B树结构图
  

  以上图为例查找44：
  第一次磁盘IO：在内存中定位与(22,50)比较，22<44<50 ==> P2;
  第二次磁盘IO：在内存中定位与(30,42)比较，42<44 ==> P3;
  第三次磁盘IO：在内存中定位与(44,50)比较，找到44，终止查找。

1.1.2 B树特性

• 关键字结合分布在整棵树中；
• 任何一个关键字出现且只出现一个节点中；
• 搜索可能在非叶子节点结束；
• 其搜索性能等价于在关键字全集中做一次二分查找。

1.2 M阶B+树

1.2.1 M阶B+树性质

• 有k个子树的中间节点包含k个元素（b-树有k-1个元素），每个元素不保存数据，只保存索引，所有的数据保存在叶子节点中；【 ceil(M) / 2 <=K<= M】
• 所有叶子节点中包含了全部元素的信息，以及指向这些元素的指针，且叶子节点依据关键字的大小自小到大顺序链接；
• 所以中间节点元素都在子节点中存在，在子节点元素中是最大（或最小）元素；

• 在b+树中无论删除插入多少元素，使用要保持最大（最小）元素在根节点中。

  
  B+树结构图（网上下载若侵权会立刻删除）
  

  以上图为例查找5：
  第一次磁盘IO：在内存中定位与(5,28,65)比较，5=5 ==> P1子树;
  第二次磁盘IO：在内存中定位与(5,10,20)比较，5=5 ==> P1子树;
  第三次磁盘IO：在内存中找到5，终止查找。

1.2.2 B+树特性

• 与B树不同的是，B+树的所有数据都是存在于叶子节点中。在树中去寻找5，需要遍历到叶子节点。
• B+树通常有两个指针，一个指向根结点，另一个指向关键字最小的叶子结点。因些，对于B+树进行查找两种运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另一种是从根结点开始，进行随机查找。

2. 相关问题补充

2.1 MySQL的索引使用B+树而不是B树？

• b+树单一节点存储更多的元素，使得IO次数减少【B树不管是叶子节点还是非叶子节点都会存储保存数据信息，这样导致在非叶子中能保存的指针数量变小，指针少的情况下要保存大量数据，就只能增加树的高度，这样在查询操作时效率较低，需要更过磁盘IO次数。在数据量相同的情况下b+树的高度低于b-树高度】
• 所有查询都要查询到叶子节点，查询性能稳定【b+树的查找必须要查找到叶子节点，b-树只要匹配到元素即可，无论匹配元素在中间还是叶子节点。因此相对于b-树的查找，b+树的查找更加稳定】
• 所有叶子节点形成有序链表，便于范围查找【范围查找，b-树只能依靠繁琐的中序遍历，b+树的范围查询只需要在链表上做遍历即可。】

2.2 MySQL中B+树的高度？

在InnoDB中B+树高度一般为1-3层，它就能满足千万级的数据存储。在查找数据时一次页的查找代表一次IO，所以通过主键索引查询通常只需要1-3次IO操作即可查找到数据。
https://www.cnblogs.com/leefreeman/p/8315844.html

2.3 InnoDB 为什么要使用 B+ 树，而不是 B 树、Hash、红黑树或二叉树？

因为 B 树、Hash、红黑树或二叉树存在以下问题：

• Hash：虽然可以快速定位，但是没有顺序，IO 复杂度高；
  -- 哈希索引适合等值查询，但是不无法进行范围查询；
  -- 哈希索引没办法利用索引完成排序；
  -- 哈希索引不支持多列联合索引的最左匹配规则 如果有大量重复键值得情况下，哈希索引的效率会很低，因为存在哈希碰撞问题。
  【哈希索引：对于哈希索引来说，底层的数据结构就是哈希表，因此在绝大多数需求为单条记录查询的时候，可以选择哈希索引，查询性能最快；其余大部分场景，建议选择BTree索引。
• B 树：不管叶子节点还是非叶子节点，都会保存数据，这样导致在非叶子节点中能保存的指针数量变少（有些资料也称为扇出），指针少的情况下要保存大量数据，只能增加树的高度，导致IO操作变多，查询性能变低；
• 二叉树：树的高度不均匀，不能自平衡，查找效率跟数据有关（树的高度），并且 IO 代价高；
• 红黑树：树的高度随着数据量增加而增加，IO 代价高。

3. 相关总结

InnoDB存储引擎的最小存储单元为页， 1页存储数据大小为16K。数据库索引是存储在磁盘上的，当数据量比较大的时候，索引的大小可能有几G, 当我们查询的时候，不能把所有索引加载到内存中，能做的就是逐一加载每一个磁盘页（磁盘页对应索引树的节点），相对于磁盘IO的速度，在内存中对比的耗时几乎可以忽略，所以只要树的高度足够少，IO次数足够少，就可以提高查询性能。相比较于内部节点多一些也没有关系，仅仅多了几次内存交互，只要不超过磁盘页大小即可。【磁盘的IO次数是由索引树的高度决定的】
综合所述，InnDB 只有采取 B+ 树的数据结构存储索引，才能提供数据库整体的操作性能。B-树主要应用于文件系统以及部分数据库索引，非关系性数据库MongoDB