6-2.矩阵

假设在空间有⼀个点，这个点使⽤x、y、z 描述它的位置，此时让其围绕任意位置旋转⼀定⻆度后，我们需要知道这个点的新的位置，此时我们就需要通过进⾏计算了。
为什么需要新的点位置就需要矩阵计算呢?
因为新的位置的x不单纯与原来的x有关系，而且还和旋转的参数有关，甚⾄于y和z坐标有关；矩阵只有⼀⾏或者⼀列都是合理的，只有⼀⾏或者⼀列数字可以称为向量，也可以称为矩阵;

OpenGL中矩阵声明：

//三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];// 3x3矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];// 4x4矩阵

值得一提的是，在其它很多编程语言中习惯使用二维数组来定义矩阵。但在OpenGL中，更偏向于使用一维数组来定义矩阵。 这样做的原因是:OpenGL 使⽤的是 Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定。

矩阵分类

1. 行优先矩阵：一行一行读取

2. 列优先矩阵：一列一列读取

3. 两者的关系为：行优先矩阵经过转置即可的到列优先矩阵

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这 16 个值表示空间中⼀个特定的位置，这4列中，每⼀列都是有4个元素组成的向量。
如果将⼀个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。

单元矩阵初始化方式

// 方式一：
GLFoat m[] = {
  1, 0, 0, 0,      // X 列
  0, 1, 0, 0,      // Y 列
  0, 0, 1, 0,      // Z 列
  0, 0, 0, 1,      // Translation
}
// 方式二：
M3DMatrix44f m = {
  1, 0, 0, 0,      // X 列
  0, 1, 0, 0,      // Y 列
  0, 0, 1, 0,      // Z 列
  0, 0, 0, 1,      // Translation
}
// 方式三：
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

将一个向量乘以 单元矩阵 等于向量本身。

矩阵的点乘

1.矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
2.矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素

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矩阵的叉乘

1.矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
2.矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素

image 矩阵相乘

⚠️注意：A * B的前提条件是矩阵 A 的列数 == 矩阵B的行数
⚠️注意：A * B != B * A(不能调换位置)

以线性代数⻆度理解矩阵相乘

1.数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
2.从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘
顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵

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以OpenGL角度理解矩阵相乘

1.OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
2.从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘
变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点

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OpenGL 左乘源码

// OpenGL 源码
inline void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
    M3DMatrix44f mTemp;
    m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
    m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}

1.从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp
2.将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
3.将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵